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X ENS Mathématiques B MP 2017

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Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
X-ENS
Année
2017
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2017MP MathsMaths 2017
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On utilise la notation allégée pour l'intégrale d'une fonction continue par morceaux et intégrable sur
Si est une fonction de deux variables réelles , on note les dérivées partielles de (sous réserve de leur existence).
Si est un entier naturel, on note l'ensemble des fonctions de classe et dont toutes les dérivées , jusqu'à l'ordre , sont bornées.
On dit qu'une fonction est une mesure si elle est continue, positive, intégrable sur et telle que
On considère la fonction définie par et pour ,
On dit qu'une fonction admet une entropie relativement à une mesure si est continue et est intégrable sur . De même, on dit que admet une variance relativement à si est continue et est intégrable sur .
On admet que la fonction définie sur par
est une mesure.
Ce problème étudie certaines inégalités fonctionnelles. Dans les parties I et II, on étudie un opérateur différentiel lié à la mesure et on démontre une inégalité pour cette mesure. Dans la partie III, on voit comment une telle inégalité en entraine une seconde, et on étudie une forme de réciproque. La partie IV est indépendante des autres, et s'intéresse à une inégalité pour les fonctions caractéristiques.

Préliminaires

Soit une mesure.
  1. Soit une fonction qui admet une variance relativement à . Montrer que est intégrable. En conséquence, le réel
est bien défini. Montrer que .
2. Soit une fonction qui admet une entropie relativement à .
2a. Montrer que est intégrable. En conséquence, le réel
est bien défini.
2b. Soit . Montrer que
avec inégalité stricte si .
2c. Montrer que .
On pourra utiliser la question précédente avec .
2d. On suppose ici que pour tout . Caractériser les fonctions telles que .

Partie I

On note l'opérateur qui à une fonction de classe , associe la fonction définie par
On étend également cette définition aux fonctions de deux variables, en posant
sous réserve que ces quantités soient définies au point .
On rappelle que la mesure a été définie dans l'introduction.
3a. Soit de classe . Montrer que .
3b. Soient deux fonctions de . Montrer que
après avoir justifié l'existence de chacun des termes de la formule.
On considère une fonction . On définit pour
  1. Montrer que la fonction est bien définie et continue.
  2. On suppose que .
5a. Montrer que, sur est de classe et est bien définie, continue et bornée.
5b. Soit . Trouver une relation entre et .
5c. Montrer que pour tout , on a .
5d. Montrer que pour tout , on a .
On admet pour la suite du problème que cette égalité reste vraie pour tout .

Partie II

Soit une fonction de positive. On définit pour
  1. Montrer que est continue, et calculer et .
  2. On suppose dans toute cette question que et qu'il existe tel que
7a. Montrer que est alors de classe sur et que
On note .
7b. Soit . Montrer que
7c. Conclure que
  1. Montrer que pour tout admet une entropie relativement à et que
On pourra considérer la famille de fonctions définies par pour .

Partie III

Soit une mesure. On suppose dans cette partie qu'il existe une constante telle que, si est de classe et de dérivée bornée, alors admet une entropie relativement à et
  1. Montrer que .
  2. Soit . On souhaite montrer que admet une variance relativement à et que
10a. Montrer que et sont intégrables, et qu'il suffit de montrer (2) dans le cas où on a de plus et .
10b. Sous les hypothèses de la question précédente, montrer (2).
On pourra appliquer (1) à la famille de fonctions pour .
11. Soit une fonction de , telle que pour tout , on a . On note, pour ,
On admet que est de classe et que l'on obtient une expression de en dérivant sous le signe intégral de manière usuelle (on pourrait le démontrer comme précédemment).
11a. Montrer que pour tout ,
11b. En déduire que pour ,
On pourra étudier la fonction .
12. Montrer que l'inégalité (3) s'applique à la fonction définie par .
On pourra utiliser la suite de fonctions définies par .
13a. Soient et . Montrer que
13b. Conclure que pour tout , la fonction est intégrable sur .

Partie IV

  1. Soient trois fonctions continues, à valeurs strictement positives et intégrables sur .
14a. Montrer qu'il existe une fonction de classe bijective telle que
De même, il existe une fonction analogue pour .
14b. On suppose que
Montrer que
On pourra utiliser, après avoir justifié son caractère licite, le changement de variable défini par dans le membre de droite de l'inégalité (5).
On admet pour la suite du problème que l'inégalité (5) reste vraie en supposant uniquement que sont des fonctions à valeurs positives, continues par morceaux, intégrables sur , et qui vérifient (4).
Si , on note 𝟙 sa fonction caractéristique définie par 𝟙 si et 𝟙 si . On note la distance de à .
On note Int le sous-ensemble de dont les éléments sont les réunions finies d'intervalles de . Si Int, alors 𝟙 est continue par morceaux, et on définit le réel
𝟙
  1. Soit .
15a. Montrer que pour tous , on a
𝟙
15b. On suppose que et que . En déduire que
  1. Soit Int. Pour , on définit l'ensemble .
16a. Montrer que pour tout .
16b. On suppose de plus que . Montrer que pour tout , on a
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