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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On utilise la notation allégée pour l'intégrale d'une fonction f : ℝ → ℝ continue par morceaux et intégrable sur ℝ
∫f(x)dx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx
Si f est une fonction de deux variables réelles t, x, on note ∂_t f = (∂f)/(∂t), ∂_x f = (∂f)/(∂x), ∂_(xx)f = (∂^2 f)/(∂x^2) les dérivées partielles de f (sous réserve de leur existence).
Si n est un entier naturel, on note 𝒞_b^n l'ensemble des fonctions f : ℝ → ℝ de classe 𝒞^n et dont toutes les dérivées f, f^′, …, f^((n)), jusqu'à l'ordre n, sont bornées.
On dit qu'une fonction m : ℝ → ℝ est une mesure si elle est continue, positive, intégrable sur ℝ et telle que
∫m(x)dx = 1
On considère la fonction h : [0, + ∞[ → ℝ définie par h(0) = 0 et pour x > 0,
h(x) = xln(x)
On dit qu'une fonction f : ℝ → ℝ admet une entropie relativement à une mesure m si f est continue et h(f^2)m est intégrable sur ℝ. De même, on dit que f admet une variance relativement à m si f est continue et f^2 m est intégrable sur ℝ.
On admet que la fonction μ définie sur ℝ par
μ(x) = 1/(√π)e^(− x^2)
est une mesure.
Ce problème étudie certaines inégalités fonctionnelles. Dans les parties I et II, on étudie un opérateur différentiel lié à la mesure μ et on démontre une inégalité pour cette mesure. Dans la partie III, on voit comment une telle inégalité en entraine une seconde, et on étudie une forme de réciproque. La partie IV est indépendante des autres, et s'intéresse à une inégalité pour les fonctions caractéristiques.

Préliminaires

Soit m une mesure.
  1. Soit f : ℝ → ℝ une fonction qui admet une variance relativement à m. Montrer que fm est intégrable. En conséquence, le réel
Var_m(f) = ∫f(x)^2 m(x)dx − (∫f(x)m(x)dx)^2
est bien défini. Montrer que Var_m(f) ⩾ 0.
2. Soit f : ℝ → ℝ une fonction qui admet une entropie relativement à m.
2a. Montrer que f^2 m est intégrable. En conséquence, le réel
Ent_m(f) = ∫h(f(x)^2)m(x)dx − h(∫f(x)^2 m(x)dx)
est bien défini.
2b. Soit a > 0. Montrer que
∀x ⩾ 0, h(x) ⩾ (x − a)h^′(a) + h(a),
avec inégalité stricte si x ≠ a.
2c. Montrer que Ent_m(f) ⩾ 0.
On pourra utiliser la question précédente avec a = ∫f(x)^2 m(x)dx.
2d. On suppose ici que pour tout x ∈ ℝ, m(x) > 0. Caractériser les fonctions f telles que Ent_m(f) = 0.

Partie I

On note L l'opérateur qui à une fonction f : ℝ → ℝ de classe 𝒞^2, associe la fonction Lf définie par
∀x ∈ ℝ, Lf(x) = 1/2f^(′′)(x) − xf^′(x)
On étend également cette définition aux fonctions f(t, x) de deux variables, en posant
Lf(t, x) = 1/2∂_(xx)f(t, x) − x∂_x f(t, x)
sous réserve que ces quantités soient définies au point (t, x) ∈ ℝ^2.
On rappelle que la mesure μ a été définie dans l'introduction.
3a. Soit f : ℝ → ℝ de classe 𝒞^2. Montrer que Lf = 1/(2μ)(μf^′)^′.
3b. Soient h_1, h_2 deux fonctions de 𝒞_b^2. Montrer que
∫h_1(x)(Lh_2)(x)μ(x)dx = − 1/2∫h_1^′(x)h_2^′(x)μ(x)dx
après avoir justifié l'existence de chacun des termes de la formule.
On considère une fonction f ∈ 𝒞_b^0. On définit pour (t, x) ∈ ℝ^2
Φ_f(t, x) = ∫f(xcost + ysint)μ(y)dy
  1. Montrer que la fonction Φ_f : ℝ^2 → ℝ est bien définie et continue.
  2. On suppose que f ∈ 𝒞_b^2.
5a. Montrer que, sur ℝ^2, Φ_f est de classe 𝒞^1 et ∂_(xx)Φ_f est bien définie, continue et bornée.
5b. Soit (t, x) ∈ ℝ^2. Trouver une relation entre ∂_x Φ_f(t, x) et Φ_(f^′)(t, x).
5c. Montrer que pour tout (t, x) ∈ ℝ^2, on a ∂_t Φ_f(t, x)cost = LΦ_f(t, x)sint.
5d. Montrer que pour tout t ∈ ℝ, on a ∫Φ_f(t, x)μ(x)dx = ∫f(x)μ(x)dx.
On admet pour la suite du problème que cette égalité reste vraie pour tout f ∈ 𝒞_b^0.

Partie II

Soit f : ℝ → ℝ_+une fonction de 𝒞_b^0 positive. On définit pour t ∈ ℝ
J(t) = ∫h(Φ_f(t, x))μ(x)dx
  1. Montrer que J : ℝ → ℝ est continue, et calculer J(0) et J(π/2).
  2. On suppose dans toute cette question que f ∈ 𝒞_b^2 et qu'il existe δ > 0 tel que
∀x ∈ ℝ, f(x) ⩾ δ.
7a. Montrer que J est alors de classe 𝒞^1 sur ℝ et que
∀t ∈ ℝ, J^′(t)cost = − (sint)/2∫((∂_x Φ_f(t, x))^2)/(Φ_f(t, x))μ(x)dx
On note g = (f^′)^2/f.
7b. Soit (t, x) ∈ ℝ^2. Montrer que
Φ_(f^′)(t, x)^2 ⩽ Φ_f(t, x)Φ_g(t, x)
7c. Conclure que
∫h(f(x))μ(x)dx − h(∫f(y)μ(y)dy) ⩽ 1/4∫g(x)μ(x)dx
  1. Montrer que pour tout f ∈ 𝒞_b^2, f admet une entropie relativement à μ et que
Ent_μ(f) ⩽ ∫|f^′(x)|^2 μ(x)dx
On pourra considérer la famille de fonctions définies par f_δ = δ + f^2 pour δ > 0.

Partie III

Soit m une mesure. On suppose dans cette partie qu'il existe une constante C > 0 telle que, si f : ℝ → ℝ est de classe 𝒞^1 et de dérivée f^′ bornée, alors f admet une entropie relativement à m et
Ent_m(f) ⩽ C∫|f^′(x)|^2 m(x)dx
  1. Montrer que ∫(1 + |x| + x^2)m(x)dx < + ∞.
  2. Soit f ∈ 𝒞_b^1. On souhaite montrer que f admet une variance relativement à m et que
Var_m(f) ⩽ C/2∫|f^′(x)|^2 m(x)dx
10a. Montrer que fm et f^2 m sont intégrables, et qu'il suffit de montrer (2) dans le cas où on a de plus ∫f(x)m(x)dx = 0 et ∫f(x)^2 m(x)dx = 1.
10b. Sous les hypothèses de la question précédente, montrer (2).
On pourra appliquer (1) à la famille de fonctions f_ε = 1 + εf pour ε > 0.
11. Soit f une fonction de 𝒞_b^1, telle que pour tout x ∈ ℝ, on a |f^′(x)| ⩽ 1. On note, pour λ ∈ ℝ,
H(λ) = ∫e^(λf(x))m(x)dx
On admet que H est de classe 𝒞^1 et que l'on obtient une expression de H^′(λ) en dérivant sous le signe intégral de manière usuelle (on pourrait le démontrer comme précédemment).
11a. Montrer que pour tout λ ∈ ℝ,
λH^′(λ) − H(λ)lnH(λ) ⩽ (Cλ^2)/4H(λ)
11b. En déduire que pour λ ⩾ 0,
∫e^(λf(x))m(x)dx ⩽ exp(λ∫f(x)m(x)dx + (Cλ^2)/4)
On pourra étudier la fonction λ ↦ 1/λlnH(λ).
12. Montrer que l'inégalité (3) s'applique à la fonction définie par f(x) = x.
On pourra utiliser la suite de fonctions définies par f_n(x) = narctan(x/n).
13a. Soient M = ∫xm(x)dx et a ⩾ M. Montrer que
∫_a^(+ ∞)m(x)dx ⩽ exp(− ((a − M)^2)/C)
13b. Conclure que pour tout α < 1/C, la fonction x ↦ e^(αx^2)m(x) est intégrable sur ℝ.

Partie IV

  1. Soient p, q, r : ℝ → ℝ_∗^+trois fonctions continues, à valeurs strictement positives et intégrables sur ℝ.
14a. Montrer qu'il existe une fonction u : ]0, 1[ → ℝ de classe 𝒞^1 bijective telle que
∀t ∈ ]0, 1[, u^′(t)p(u(t)) = ∫p(x)dx
De même, il existe une fonction analogue v : ]0, 1[ → ℝ pour q.
14b. On suppose que
∀x, y ∈ ℝ, p(x)q(y) ⩽ (r((x + y)/2))^2
Montrer que
(∫p(x)dx)(∫q(x)dx) ⩽ (∫r(x)dx)^2
On pourra utiliser, après avoir justifié son caractère licite, le changement de variable défini par x = (u(t) + v(t))/2 dans le membre de droite de l'inégalité (5).
On admet pour la suite du problème que l'inégalité (5) reste vraie en supposant uniquement que p, q, r : ℝ → ℝ^+sont des fonctions à valeurs positives, continues par morceaux, intégrables sur ℝ, et qui vérifient (4).
Si A ⊂ ℝ, on note 𝟙_A sa fonction caractéristique définie par 𝟙_A(x) = 1 si x ∈ A et 𝟙_A(x) = 0 si x ∉ A. On note d(x, A) = inf{|x − y| : y ∈ A} la distance de x ∈ ℝ à A.
On note Int le sous-ensemble de 𝒫(ℝ) dont les éléments sont les réunions finies d'intervalles de ℝ. Si A ∈ Int, alors 𝟙_A est continue par morceaux, et on définit le réel
μ(A) = ∫𝟙_A(x)μ(x)dx ∈ [0, 1]
  1. Soit A ⊂ ℝ.
15a. Montrer que pour tous x, y ∈ ℝ, on a
exp(1/2d(x, A)^2 − x^2)𝟙_A(y)exp(− y^2) ⩽ exp(− ((x + y)^2)/2)
15b. On suppose que A ∈ Int et que μ(A) > 0. En déduire que
∫exp(1/2d(x, A)^2)μ(x)dx ⩽ 1/(μ(A))
  1. Soit A ∈ Int. Pour t ⩾ 0, on définit l'ensemble A_t = {x ∈ ℝ : d(x, A) ⩽ t}.
16a. Montrer que A_t ∈ Int pour tout t ⩾ 0.
16b. On suppose de plus que μ(A) > 0. Montrer que pour tout t ⩾ 0, on a
1 − μ(A_t) ⩽ (e^(− t^2/2))/(μ(A))

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