X ENS Mathématiques B Annulée MP 2018

CONCOURS D'ADMISSION 2018
FILIÊRE MP

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Dans ce problème, et désignent des entiers naturels non nuls. Soit l'ensemble des matrices réelles à lignes et colonnes. Si , on note

Il s'agit d'une norme sur . On note l'ensemble des matrices carrées de taille et on identifie à l'espace vectoriel des matrices colonnes réelles . L'espace vectoriel est ainsi également normé : si , .
Si est un entier naturel et un intervalle de , on note l'espace vectoriel des fonctions sur , à valeurs réelles, de classe , c'est à dire fois dérivables sur et dont la -ième dérivée est continue sur .
On munit de la norme définie par :

On note le cardinal d'un ensemble fini . Pour tout nombre réel , on note la partie entière de , c'est-à-dire le plus grand entier tel que .

Dans cette partie, on considère , et une solution non nulle de l'équation différentielle :

On note l'ensemble des zéros de sur .
1a. Soit tel que . Montrer que est non nul.

1b. Montrer que est fini.
2. On pose . On suppose dans cette question que . On note les zéros de , rangés en ordre croissant. Soit tel que

On considère une fonction telle que

On fixe . Le but de cette question est de montrer que s'annule sur .

2a. On suppose d'abord que

et on note

Montrer que . En déduire une contradiction.
2b. Montrer qu'il existe tel que .
On fixe dans toute la suite du sujet . Pour tout réel , on note l'unique solution de

3a. On considère une fonction continue telle que

Montrer que pour tout .
On pourra étudier les variations de la fonction définie par .
3b. On considère une fonction de classe telle que

Montrer que pour tout .
4. Soit et . Montrer que .

On note et on définit l'application .
5. Montrer que est de classe sur et que pour tout où est une matrice de que l'on précisera.

Dans les question 6, 7 et 8, on se donne et on note

7a. Soit . Montrer que

7b. Soit . Montrer que

7c. Conclure que est continue sur .
8a. Montrer qu'il existe une fonction croissante, continue, et telle que 0 quand et

8b. Montrer qu'il existe une fonction continue telle que quand et

8c. Pour tout , on définit la fonction , solution de l'équation différentielle

Montrer que

8d. Montrer que est différentiable sur et préciser sa différentielle.
9. On note . Montrer que pour tout ,

10a. Montrer que

10b. En déduire que

On note l'application qui à associe le nombre de zéros de sur , autrement dit

On remarquera que ce décompte ne tient pas compte de 0 , qui est toujours un zéro de .
11. Montrer que si pour tout , alors . En déduire que est croissante sur .
Montrer que si et , alors .
12. On suppose dans cette question uniquement que est une fonction constante. Calculer , puis déterminer en distinguant selon les valeurs de et .
13. Soit

13a. Justifier que et sont des réels bien définis.
Montrer que si , alors , et que si , alors .
13b. Montrer que si , alors .
Montrer que si de plus , alors .
14. On fixe dans cette question . On note , et les zéros de rangés en ordre croissant :

Pour , on pose

et

14a. Montrer qu'il existe trois réels tels que les conditions suivantes sont vérifiées
(1) pour tout , on a et si , alors ,
(2) si , alors pour tout et pour tout .

On pourra utiliser la continuité de la fonction obtenue à la question .
Jusqu'à la fin de la question 14, on fixe tel que .
14b. Montrer que pour tout a au plus un zéro tel que . Montrer que si de plus et a exactement un zéro tel que .

14c. Montrer que si , alors .
14d. Montrer que si , alors pour et pour .
15. Montrer que .

On pose, pour .
16a. Justifier que la suite est bien définie, croissante et tend vers .
16b. Montrer que et que a exactement zéros sur .
17. Soit tel que .

17a. Donner une minoration et une majoration de en fonction de et .
17b. En déduire que quand .
17c. Donner un équivalent de quand .

On suppose dans toute cette partie que est une fonction de classe .
Le but de cette partie est de préciser les estimations obtenues dans la partie précédente, dont on reprend les notations.
18. On suppose dans cette question que . On définit la fonction , et si , on pose

18a. Montrer que cette formule définit une application linéaire continue de l'espace vectoriel normé dans lui même, et montrer qu'il existe un réel tel que

18b. Montrer que pour tout ,

où et qu'il existe un réel tel que

18c. Montrer que, quand ,

18d. On note . Montrer qu'il existe un réel , que l'on précisera, tel que

18e. Montrer qu'il existe un réel , dépendant seulement de et que l'on précisera, tel que

18f. Montrer qu'il existe un réel , dépendant seulement de et que l'on précisera, tel que :

où vérifie