(Durée : 4 heures)

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Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.

Soit un entier. On appelle point entier de un point dont toutes les coordonnées sont entières, c'est-à-dire un point de . Si est une partie de , on note son intérieur. On appelle points entiers de (resp. points entiers intérieurs) les points de (resp. les points de ). On note respectivement et , le nombre (éventuellement infini) de points entiers de et de son intérieur .
Soit l'homothétie de rapport (centrée en 0 ), on note l'image de par . Si est la translation de vecteur , on note l'image de par .
Si est une matrice de est le coefficient de la -ème ligne et de la -ème colonne.
On note ( ) la matrice de dont les colonnes sont les vecteurs . On note la matrice identité de et la matrice de dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la -ème ligne et -ème colonne qui vaut 1 .
On note l'ensemble des matrices de dont tous les coefficients sont entiers.
On note la partie entière d'un réel : c'est le plus grand entier inférieur ou égal à ; et la partie fractionnaire de . On note le plus grand entier strictement inférieur à .
Pour des entiers non tous nuls, on note le plus grand entier (strictement positif) qui divise tous les .

1a. Montrer que est à coefficients rationnels.
1b. Montrer l'équivalence des propositions suivantes:
i) est à coefficients entiers.
ii) vaut 1 ou -1 .

Dans la suite, on note l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients entiers et de déterminant . C'est un sous-groupe de . On remarque que pour et , la matrice appartient à .
2. Soit .

2a. Montrer que si et seulement si .
2b. Montrer l'équivalence des propositions suivantes:
i) .
ii) Les points entiers du parallélépipède sont exactement les points , où pour tout .
3. Pour tout dans et pour tous entiers et distincts compris entre 1 et , décrire l'effet sur une matrice carrée de taille de la multiplication à gauche par . Même question pour la multiplication à droite.
4. Soient et des entiers non tous nuls. Le but de cette question est de montrer qu'il existe une matrice de dont la première colonne est ( ) et de déterminant le . Pour cela on raisonne par récurrence sur .
Soit une matrice dont la première colonne est . Étant donnés , on considère la matrice

4a. Exprimer en fonction et .
4b. On suppose que les sont non tous nuls et que . Montrer que l'on peut choisir de sorte que réponde à la question.

4c. Conclure la récurrence.
5. Soit , de déterminant non nul. On souhaite montrer qu'il existe une matrice dans telle que soit triangulaire supérieure et en notant , on ait les inégalités et pour tous tels que .

5a. On note . Soient les éléments de obtenus en prenant les dernières coordonnées de .
Montrer qu'il existe dans , non tous nuls, tels que . Montrer que l'on peut choisir les entiers et premiers entre eux dans leur ensemble.

5b. Montrer qu'il existe une matrice dans telle que la première colonne de ait tout ses coefficients nuls sauf le premier que l'on peut prendre strictement positif.

5c. En considérant pour tout la division euclidienne , montrer que l'on peut supposer , quitte à changer .

5d. Conclure par récurrence.
6. Soit , de déterminant non nul. Montrer qu'il existe une matrice dans telle que soit triangulaire inférieure et en notant , on ait l'inégalité pour tous tels que .

Soient des points de tels que les vecteurs soient linéairement indépendants. On appelle simplexe de sommets l'ensemble :

Si de plus les sont tous des points entiers, on dit que est un simplexe entier.
On définit le volume du simplexe de sommets par

7a. Montrer est un compact convexe de .
7b. Montrer que .
En déduire que si , alors, pour tout .
7c. Pour , on note le point de dont les coordonnées sont 1 suivi des coordonnées de . Exprimer en fonction de . En déduire que le volume d'un simplexe ne dépend pas de l'ordre des sommets.
8. Soit un réel.

8a. Donner un exemple de simplexe entier de , de volume supérieur ou égal à , et n'ayant aucun point intérieur entier.

8b. Donner un exemple de simplexe entier de , de volume supérieur ou égal à , et dont les seuls points entiers sont les sommets.
9. Soit un compact convexe de tel que .

9a. Montrer que l'ensemble des tels que est un intervalle.
On note

9b. Montrer que et que .
9c. Montrer que .
En déduire que si et seulement si est symétrique par rapport à 0 .
On admet le résultat suivant que l'on pourra utiliser sans démonstration pour la suite de cette partie.
Théorème 1. Soit un simplexe de et un entier. Si , il existe points distincts de tels que quels que soient et entre 0 et .
10. Dans toute cette question, est un simplexe de tel que . On veut montrer que

On pose alors , et .
10a. Exprimer, pour et et .
Montrer que pour suffisamment proche de .
10b. Pour comme dans la question précédente, soient les points distincts dans vérifiant pour tout dont l'existence est assurée par le Théorème 1. Montrer que les points sont dans . En déduire que les sont dans .

10c. Montrer qu'il existe un indice tels que les points , pour soient distincts. En déduire l'énoncé de la question 10, puis que

On dit que deux simplexes et de sont équivalents s'il existe un ordre d'énumération des sommets de , et de , et une matrice de tels que pour tout .
11. Montrer que deux simplexes entiers et sont équivalents si et seulement s'il existe une matrice et un vecteur tels que .
12. Montrer que le volume, le nombre de points entiers et le nombre de points intérieurs entiers sont les mêmes pour deux simplexes entiers équivalents.
13. Montrer qu'un simplexe entier est équivalent à un simplexe entier contenu dans le cube .
On pourra utiliser la question pour une matrice bien choisie.
On admet le résultat suivant que l'on pourra utiliser sans démonstration.
Théorème 2. Pour tout entier strictement positif , il existe une constante strictement positive telle que pour tout simplexe entier de possédant exactement points intérieurs entiers, .
14. Déduire du Théorème 2 que pour tout entier strictement positif , il n'existe à équivalence près qu'un nombre fini de simplexes entiers de ayant exactement points intérieurs.

Le but de cette partie, qui ne faisait pas partie du sujet du concours, est de démontrer les Théorèmes 1 et 2 énoncés et utilisés dans les deuxième et troisième parties.
15. Soit un simplexe de et un entier tel que .

15a. Montrer qu'il existe et éléments de tels que pour .
On pourra étudier les ensembles quand décrit ; et admettre le faithors programme de CPGE - que le volume d'un simplexe est sa mesure de Lebesgue, qui est sous-additive.

15b. En déduire l'existence des points qui satisfont aux conditions du Théorème 1 .

15c. Montrer le Théorème 1, c'est-à-dire qu'ici, on suppose seulement que .
16. Soient des réels strictement positifs tels que et soit un entier. On souhaite montrer qu'il existe des entiers positifs ou nuls et tels que
i) ,
ii) ,
iii) ,
iv) pour tout .

16a. En considérant les vecteurs de coordonnées quand décrit , montrer qu'il existe des entiers vérifiant les conditions i) et iv).

16b. Conclure.
17. Le but de cette question est de montrer que quels que soient les entiers strictement positifs et , il existe une constante telle que, si sont des réels strictement positifs vérifiant , alors il existe des entiers positifs ou nuls et tels que

On procède par récurrence sur .
17а. Traiter le cas en montrant que la constante convient.
On suppose l'énoncé vrai jusqu'au rang . En particulier, est définie pour tout . On pose pour

On se donne , et on suppose que avec .
17b. Si , établir l'énoncé au rang .

17c. Si , appliquer le résultat de la question aux . Avec ses notations, montrer que

Conclure en distinguant les cas et .
18. Soit un simplexe entier de de sommets ayant exactement points intérieurs entiers et soit un point entier intérieur de .

18a. Montrer que . (On pourra raisonner par l'absurde et construire alors points entiers distincts intérieurs à ).
18b. Montrer que .
18c. En déduire que .
19. Conclure la preuve du Théorème 2 .