MAI 2002

Option A. - MATHÉMATIQUES

deuxième composition de mathématiques

Durée: 4 heures

L'usage des calculatrices est interdit

Le sujet comprend 4 pages ( compris celle-ci).

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Dans une très large mesure les parties sont indépendantes mais les notations sont les mêmes dans tout le problème.

On considère l'équation différentielle de la variable réelle

a) Déterminer les solutions de l'équation (1) sur . (On justifiera que si n'est pas la fonctions nulle, on peut poser ).
b) Déterminer de même les solutions de l'équation (1) sur .
Déterminer les solutions sur de l'équation de (1).
Dans toute la suite du problème on pose où est une variable complexe.

Préciser l'ensemble de définition de et montrer que se prolonge par continuité en 0 .
On notera encore ce prolongement.
On suppose que la fonction admet un développement en série entière sur un voisinage de 0

a) Montrer que la suite ( ) vérifie et pour , la relation

b) Calculer et .
c) Montrer que pour , on a : .
d) Montrer que le rayon de convergence de la série entière est .
En déduire que est développable en série entière sur .
Montrer que pour tout entier naturel non nul , on a : (on pourra utiliser la fonction .

On appelle nombres de Bernoulli les nombres réels notés définis, pour , par : .
Montrer que pour , on a

On note la fonction définie pour tout réel supérieur strictement à 1 par :

Soit . On note la fonction -périodique définie par :

a) Déterminer la série de Fourier de la fonction .
b) Justifier que est la somme de sa série de Fourier sur
c) La convergence est-elle uniforme?
En déduire pour , la relation :

Montrer que est développable en série entière au voisinage de 0 .
Montrer que pour tout réel , on a la rclation : .
Montrer que pour tour entier naturel :

On note la fonction définie par , où et .
Montrer que pour tout nombre réel , la fonction qui à associe est développable en série entière au voisinage de .
Montrer que l'on a pour tout et tout dans un voisinage de 0

où est un polynóme, nommé polynôme de Bernoulli, que l'on exprimera à l'aide des nombres de Bernoulli .
Écrire .
4 © Calculer en fonction de .
Expliciter le polynôme (on pourra calculer ).
En déduire, pour , une expression de , à l'aide des polynômes de Bernoulli.
Démontrer que pour tous et dans .
Montrer que pour tout entier naturel , on a : (on pourra utiliser l'expression de ).

On considère pour tout entier naturel la fonction qui est l-périodique et telle que pour tout

Étudier la parité et la continuité de .
Déterminer la série de Fourier de .
Pour entier relatif et , calculer le coefficient de Fourier complexe en fonction de et de (on établira une relation de récurrence entre et ).
a) En déduire, pour entier relatif et pour entier naturel, la valeur de .
Retrouver la valeur de pour .
a) Prouver que pour , on a , où est une constante indépendante de .
b) En déduire que .
On pose

Exprimer pour en fonction de . On admettra que pour toutes fonctions continues par morceaux sur et de periode 1 , on a