L'objet du problème est de définition de la notion d'inverse d'une application linéaire ou d'une matrice.
Dans la première partie, on établit une généralisation de la notion pour une application linéaire quelconque. Dans la deuxième partie, on se place dans le cadre des espaces

euclidiens. On définit alors la notion de pseudo-inverse.

Dans la troisième partie on étudie le cas d'un système linéaire, ce qui permet de définir la notions de pseudosolution, et de claculer la pseudo-inverse d'une matrice.

Dans la quatrième partie, on utilise la matrice

pour obtenir la pseudo-inverse d'une autre façon.

PARTIE I

Soit

deux espaces vectoriels de dimensions quelconques non nécéssairement finies, et

Soit un supplémentaire de Keru et un supplémentaire de .
1.a) Prouver que définit un isomorphisme de sur Imu.
1.b) Soit . Prouver qu'il existe un couple unique tel que . On pose .
2.a) Prouver que l'on définit ainsi une application linéaire .
2.b) Que dire lorsque est un isomorphisme ?
Déterminer et prouver que et que .
Prouver que et sont des projecteurs dont on précisera le noyau et l'image.
Prouver que réciproquement si vérifie et , alors on a : et .
On munit de la base canonique ( ), et l'on considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . On pose et où .

Déterminer dans ce cas l'endomorphisme

défini aux questions précédentes. On pourra déterminer

par sa matrice dans la base canonique.

Désormais, et pour toute la suite du problème, on prend

, que l'on munit de leur produit scalaire usuel qu'on notera (

PARTIE II

Soit .
1.a) Justifier l'existence d'une unique application linéaire (l'énoncé du concours comportait une erreur intervertissant , et , qui a été rétablie ici) telle que Keru , Imu .

On nommera cette application la pseudo inverse de

.
1.b) Préciser

.
1.c) Prouver que

sont des projecteurs autoadjoints.
2) Soit réciproquement

tel que

, et tel que

soient des projecteurs autoadjoints.
2.a) Montrer que Kervu

Keru et

.
2.b) En déduire que

étant rapportés à leur base canonique, soit

, l'application linéaire de matrice

dans ces bases. On note

la matrice associée à l'application linéaire

.
3) Prouver que

est caractérisée par les égalités :

.
4) Déterminer

en fonction de

.
5) Déterminer

, de la forme

où

est une matrice carrée inversible de taille

PARTIE III

Soit

deux matrices colonnes. On s'intéresse au système :

Les espaces

étant rapportés à leur base canonique,

définit une application linéaire

; Les colonnes

étant associées à des vecteurs

. On dit que

est la pseudo-solution du système

si l'on a

Dans cette question on considère le cas particulier : et
1.a) Justifier que le système ( ) n'admet pas de solution.
1.b) Déterminer puis le projeté orthogonal du vecteur sur . En déduire la pseudo-solution de ce système. On sera amené à déterminer les antécédents par du vecteur .
Prouver que si , la pseudo-solution de ( ) est une solution de ( ).
3.a) Prouver que si est la pseudo-solution du système , alors est une solution du système : où étant la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur .
3.b) Prouver que est la pseudo-solution du système si et seulement si il existe une solution au système : telle que .

On cherche maintenant une solution du système :

.
4) Prouver qu'il existe une matrice de passage

, telle que le système (

) soit équivalent au système

où

étant une matrice carrée de taille

inversible et

.
5) Donner une expression de

à l'aide de

.
6) Justifier que

ne dépend pas de

.
7) En déduire que :

où

.
8) On suppose

décomposées par blocs sous la forme

où

. Déterminer

à l'aide de

PARTIE IV

Dans toute cette partie,

désigne une matrice de

Justifier que est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.

On note

l'ensemble des valeurs propres non nulles de

, et

, la matrice dans la base canonique de la projection orthogale sur le sous- espace propre associé à

; on pose

.
2.a) Prouver que

.
2.b) Prouver que

.
2.c) Puis que

.
3.a) Calculer

. En déduire

en fonction de

. (on pourra utiliser la caractérisation obtenue à la question II.3).
3.b) Prouver que

pour

.
4) Déduire des questions précédentes :

.
5) Déterminer la pseudo-inverse de la matrice :