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ENSAE Mathématiques MP 2001

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionSéries et familles sommables
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Année
2001
Filière
MP
Matière
Maths
Autres MPAutres 2001MP MathsMaths 2001
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Si le candidat détecte ce qu'il pense être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème, le corps de scalaires est . Si et sont deux espaces vectoriels normés, on note l'espace des applications linéaires de dans et on note la norme opérateur (norme triple) usuelle de toute application linéaire continue . In notera toujours l'application identité, quel que soit l'espace sous-jacent, la trace d'un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension finie et son déterminant. Le déterminant d'une matrice carrée sera noté . Enfin, désignera l'orthogonal (au sens du produit scalaire sous-jacent) d'un sous espace .
Soit un espace normé, on dit qu'une série est inconditionnellement convergente dans si, pour tout choix de signes , la série est convergente
dans .

Partie I.

  1. Démontrer qu'une série de réels est inconditionnellement convergente si et seule-
    ment si est convergente.
2 ) Soit ( ) un espace vectoriel normé de dimension finie, à quelle condition sur , une série de est inconditionnellement convergente? (on démontrera le résultat annoncé).
On note l'espace des suites réelles convergentes vers 0 , que l'on munit de la norme , avec . On rappelle que c'est un espace de Banach.
3) Pour tout , on définit par si et 0 sinon. Montrer que la série est inconditionnellement convergente dans .
4) Conclure.

Partie II : lemme de Lewis.

Dans cette partie, ( ) un espace vectoriel normé de dimension , où . On définit comme l'espace muni de sa structure euclidienne canonique. La norme est donc . On note la base canonique de
Soit
On fixe une base de . Pour , on définit où est la matrice représentative de dans les bases et .
  1. Montrer qu'il existe tel que
  2. Montrer que est inversible.
  3. On fixe et . Montrer que .
  4. Soit . Montrer que pour tout réel , on a .
  5. En déduire que vérifie : pour tout , on a Que vaut avec ?

Partie III : lemme de Dvoretzky-Rogers.

On reprend les notations de la partie II.
  1. Soit . Soit un sous-espace de de dimension . On note la projection orthogonale sur .
  • 1-a) Montrer que .
  • 1-b) En déduire qu'il existe tel que et .
  1. Construire une base orthonormale de telle que pour tout .
  2. Soit où désigne la partie entière de . On définit les vecteurs de : pour .
    Montrer que pour tous

Partie IV : théorème de Dvoretzky-Rogers.

Dans cette partie, ( . é
On fixe une suite de réels positifs telle que converge. On pose .
  1. Montrer qu'il existe une suite strictement croissante d'entiers avec vérifiant pour tout entier .
  2. Montrer qu'il existe une suite de vecteurs de de norme 1 telle que pour tout entier et pour tous réels
  3. Montrer qu'il existe une suite de vecteurs de telle que et telle que la série soit inconditionnellement convergente dans
  4. En déduire que dans un espace de Banach de dimension infinie, il existe une suite de vecteurs telle est inconditionnellement convergente dans et la série diverge.

Partie V : "unicité" dans le lemme de Lewis.

On reprend les notations de la partie II. On rappelle que , muni de sa tructure euclidienne canonique. est l'application construite dans la partie II.
  1. Montrer que pour tout endomorphisme orthogonal de a les mêmes propriétés que : on rappelle que est inversible, et pour tout , on a .
  2. Soit (on rappelle qu'il s'agit de l'ensemble des endomorphismes inversibles de ).
  • 2-a) Montrer qu'il existe un endomorphisme de , symétrique défini positif tel que .
  • 2-b) Montrer qu'il existe un endomorphisme orthogonal de et un endomorphisme symétrique défini positif tel que .
On suppose qu'il existe ayant les mêmes propriétés que est inversible, et pour tout , on a .
3) Montrer qu'il existe un automorphisme orthogonal de et un endomorphisme symétrique défini positif tel que .
4) Montrer que et que .
5) Montrer que si , alors . Etudier le cas d'égalité.
6) Conclure.

Partie VI : Opérateurs absolument sommants.

Soient et deux espaces vectoriel normés dont on note respectivement les normes . et . Soit , on note l'ensemble des constantes telles que pour tout choix d'un nombre fini de vecteurs , on a
On dit que est absolument sommante si est non vide.
  1. Soit absolument sommante. Montrer que admet un plus petit élément que l'on notera
  2. Soit absolument sommante. Montrer que est continue et comparer et
  3. Soient et deux espaces vectoriels normés. Montrer que l'ensemble des applications absolument sommantes de dans est un sous espace vectoriel de et que est une norme sur cet espace.
  4. Soit l'espace des fonctions continues sur à valeurs réelles muni de la norme sup usuelle : . On désigne par l'espace des fonctions continues sur [ 0,1 ] à valeurs réelles muni de la norme . Soit l'application de dans qui à toute fonction continue sur associe elle-même. Montrer que est absolument sommante et calculer .
  5. Montrer (de façon élémentaire) que l'identité de n'est pas absolument sommante.
  6. Soient ( . é de vecteurs de .
  • 6-a) Montrer que est croissante, où
  • 6-b) En déduire que si la série est inconditionnellement convergente dans alors
    la suite est bornée.
  • 6-c) Soient absolument sommante et une série inconditionnellement convergente dans . Que peut on dire de ?
  1. A quelle condition nécessaire et suffisante l'identité d'un espace de Banach est absolument sommante?
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