Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et de l'ENPC
Durée : 4 heures
Abstract
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Abstract
Ce sujet porte sur un modèle de dynamique des populations structurées en âge. Il comporte quatre parties présentées par ordre croissant de difficulté. Les trois premières parties sont indépendantes. La quatrième partie utilise les résultats des parties précédentes, qui pourront être admis.
Il est recommandé de lire attentivement et patiemment le sujet. Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.
Notations
L'ensemble des nombres réels est noté , celui des nombres réels positifs .
Pour toute fonction , avec ou , on note son intégrale sur , quand celle-ci existe.
Si est une fonction de classe , on notera (respectivement ) sa dérivée partielle par rapport à la variable (respectivement ), c'est-à-dire la dérivée de la fonction (respectivement ).
Première partie : Inversion de la transformation de Laplace
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Poisson de paramètre .
Rappeler la loi de la somme .
Montrer que
En déduire que pour tout :
Montrer que la fonction est décroissante pour tout (la notation signifie qu'on somme sur tous les entiers compris entre 0 et ).
Soit une fonction positive, continue et bornée.
5) Expliquer pourquoi pour tout et , l'intégrale est bien convergente.
6) Montrer à l'aide des questions précédentes que pour tout et :
Soit telle que pour tout . Montrer que pour tout et :
Démontrer l'inégalité :
On définit la fonction , appelée transformation de Laplace de .
9) Vérifier cette intégrale est bien définie pour tout .
On admettra que la fonction est de classe sur et que la dérivée -ième de est donnée par
Conclure à l'aide des questions 6), 7) et 8) que pour tout :
Conclure que la fonction est uniquement déterminée par .
Deuxième partie : un modèle d'équations aux dérivées partielles et sa reformulation intégrale
Soit une fonction positive et continue sur . Soit une fonction positive, non-nulle, de classe sur , telle que pour tout , pour un certain . Soit une fonction positive et continue sur . On s'intéresse dans cette partie à l'équation aux dérivées partielles dite de Mc Kendrick - Von Foerster :
On appelle le temps, l'âge, la densité de population d'âge au temps la condition initiale, le taux de fécondité à l'âge le taux de mortalité à l'âge . Expliquer ces différents termes.
On admet que l'équation (1) admet une solution de classe sur , et on va chercher dans les questions suivantes à en déterminer les propriétés.
13) Montrer que :
On pourra montrer que la fonction , avec fixé, vérifie une équation différentielle que l'on résoudra.
14) De même, étudier , avec fixé, et en déduire une formulation pour pour tout en fonction de et .
Soit .
15) Montrer que
pour une certaine fonction positive, continue, bornée et d'intégrale convergente qu'on exprimera en fonction de et .
16) Réciproquement, expliquer comment construire une solution de (1) à partir d'une solution de (2).
Troisième partie : solutions exponentielles de l'équation
On s'intéresse dans cette partie aux données initiales donnant une solution de (1) de la forme , avec une fonction positive de classe sur telle que et .
17) Montrer qu'une telle solution satisfait
Exprimer en fonction de et .
Pour tout , on définit . On admettra que est une fonction continue de dans .
19) Montrer que satisfait .
20) En utilisant les propriétés de et , montrer qu'il existe et tels que , pour tout et pour tout . En déduire que .
21) De même, démontrer l'existence d'une constante telle que pour tout et calculer .
22) Montrer qu'il existe un unique tel que .
23) Prouver que si et seulement si .
24) Conclure qu'il existe une unique donnée initiale donnant une solution de (1) de la forme , avec une fonction positive de classe sur telle que et .
On considère une solution de l'équation (1) de classe sur .
On supposera jusqu'à la fin du problème qu'il existe tel que pour tout et que pour tout .
25) Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout .
On définit comme avant .
26) Montrer que , où est défini dans la question précédente.
27) Supposons qu'il existe tel que .
a) Expliquer pourquoi on peut supposer que pour tout .
b) Soit . Montrer que satisfait :
c) En déduire une contradiction.
28) Déduire à l'aide de la question précédente et des questions 13) et 14) que pour tout , .
29) Conclure sur la convergence de quand dans le cas où . Comment interpréter ce résultat en termes de dynamiques des populations?
Quatrième partie : convergence quand
On revient dans cette partie à l'étude de l'équation intégrale (2) introduite dans la Deuxième partie. On considère une solution de l'équation (1) de classe sur . On lui associe solution de (2).
On supposera dans toute cette partie que .
30) Montrer à l'aide de la question 28) que est bornée.
La fonction étant bornée et continue, on peut définir pour tout comme dans la Première partie et, comme dans la Troisième partie, pour tout . Enfin, soit pour tout , où a été définie par (2). On admet, comme dans la Première Partie, que ces fonctions sont de classe sur et que
Montrer à l'aide de l'équation (2) que
Montrer que et que pour tout .
Déduire de la question 11) que la fonction est entièrement déterminée par et .
Conclure à l'aide du lien identifié dans la Deuxième partie entre les équations (1) et (2) que si l'on se donne , et , alors l'équation (1) admet au plus une solution.
Calculer en fonction de et .
Montrer que est bien définie et calculer cette limite en fonction de et .
On suppose que converge quand et on admettra que .
37) Montrer à l'aide de la question 13) que la fonction converge quand pour tout et calculer sa limite.
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