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ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2001

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales à paramètres
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Banque
X-ENS
Année
2001
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2001MP MathsMaths 2001
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SESSION 2001

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS: Ulm et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Préambule
On assimile les éléments de à des vecteurs colonnes
La transposée d'une matrice est notée .
Pour , on note le produit scalaire euclidien entre et :
et la norme euclidienne associée.
On note l'ensemble des matrices symétriques réelles , muni de la norme
On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'une norme.
Une distance sur un ensemble est une application telle que:
Si est une fonction de classe de dans , et , on note le gradient de , vecteur colonne dont la ième coordonnée est la dérivée partielle évaluée en .
On dit qu'un sous-ensemble est connexe par arcs si pour tous , il existe une fonction continue telle que et pour tout .
Les différentes parties peuvent être traitées indépendamment les unes des autres, en admettant au besoin les résultats de la partie II pour les parties III et IV.

Partie I

Dans cette partie, est un intervalle ouvert de et une fonction strictement positive, de classe définie sur . Pour tous points et dans , on note l'ensemble des fonctions , de classe définies sur , à valeurs dans , telles que et .
Pour toute fonction de classe définie sur , à valeurs dans , on note
et
  1. Montrer que pour toute fonction continue de dans , on a
et discuter des cas d'égalité.
2) En déduire l'existence et la valeur de
et montrer que la fonction réalisant ce minimum est unique.
3) Montrer qu'il existe de classe , strictement croissante, définie sur , à valeurs réelles, telle que, pour toute fonction :
  1. On suppose fixée une telle fonction . Montrer que, pour tous dans :
Montrer que ce minimum est atteint en une unique fonction que l'on calculera.
5) Montrer que est de classe et solution sur de l'équation différentielle

Partie II

On pose, pour tout
On notera
Pour et , on définit sur la fonction par
On admettra que est une fonction de classe sur .
  1. Soit un entier strictement positif. Montrer que si est une fonction continue de dans , alors, pour , il existe tel que, si
et en déduire la limite, lorsque tend vers 0 , de
  1. Soit l'ensemble des applications de classe sur , à valeurs réelles, telles que . Montrer que si est une fonction continue de dans telle que, pour toute fonction
alors pour tout .
3) Si et sont deux éléments de , montrer que pour assez petit, il existe une fonction telle que
  1. En déduile que si est une fonction continue sur , à valeurs dans , telle que, pour tout :
alors est constante sur .
5) a) Mortrer que si et sont deux fonctions continues sur , à valeurs dans , , iles que, pour tout :
alors at de classe et, pour tout :
b) Montrer que si et sont deux fonctions continues sur , à valeurs dans 𝕣 telles que, pour toute fonction , de classe sur , à valeurs dans avec , on ait
la mê⿴囗ue conclusion est vraie: est de classe et, pour tout :
  1. Soit un réel strictement positif, et une fonction continue de dans . On considère la fonction définie sur [ 0,1 ] par
a) Montrer que est de classe sur .
b) Montrer que pour tout , on peut choisir tel que
c) Montrer que pour toute fonction continue sur et pour tout il xiste une fonction de classe sur telle que
d) Montrer que pour toute fonction continue sur et pour tout il existe une fonction de classe sur telle que et

Partie III

Soit un ouvert connexe par arcs de et une fonction réelle strictement positive, de classe définie sur . Pour tous points et dans , désigne l'ensemble des fonctions , de classe définies sur , à valeurs dans , telles que et .
Pour toute fonction de classe définie sur , à valeurs dans , on note
  1. a) Pour tout , on pose
Montrer que est strictement positive et continue sur .
b) Montrer que pour toute fonction continue de dans , il existe tel que, pour tout , la boule fermée de centre et de rayon est incluse dans .
c) Montrer, en utilisant la question II-6, que est non-vide, quels que soient et dans .
d) Montrer que pour toute fonction et pour toute fonction de classe de dans telle que , il existe tel que, pour tout :
  1. et étant comme en III-1-d), on définit, pour :
Montrer que est de classe et calculer sa dérivée.
3) On suppose maintenant qu'il existe une fonction telle que
a) Montrer que, pour toute fonction de classe de dans telle que , on a
b) En déduire que est de classe sur , et solution de l'équation différentielle
c) Montrer que la fonction est constante sur

Partie IV

Dans toute cette partie, on fixe une distance sur , et on suppose . Pour , on note la fonction, définie sur par
  1. a) Montrer que pour tout : et pour tout
b) Montrer que ne peut pas être une fonction de classe sur .
On supposera, dans toute la suite de cette partie que la fonction est de classe sur .
2) Montrer que est de classe sur où
  1. a) Montrer qu'il existe une fonction continue
telle que
avec pour tout .
b) Montrer que pour tout est une matrice positive.
4) Soit et une fonction de classe de dans .
a) Montrer que
b) Montrer que pour tel que , on a
c) Soit . Montrer que si est telle que et pour tout , alors
  1. On suppose encore , et on prend de classe sur telle que . Soit
a) Montrer que .
b) Soit définie par . Montrer que
  1. Déduire des résultats précédents que, pour tout et dans :
  1. a) Montrer que pour tout , pour toute fonction de classe de dans , pour tout
b) Montrer que, pour tous , la matrice est positive.
8) Soit dans , tels qu'il existe une fonction de classe telle que pour et
a) Montrer que pour tout
b) Montrer que pour tout
  1. Soit une matrice symétrique réelle définie positive, et .
    a) Montrer que est une matrice positive si et seulement si
    b) Montrer l'équivalence des propriétés suivantes:
    (A) Il existe tel que
    (B)
  2. On suppose que est inversible pour tout , et que pour tous distincts dans , il existe une fonction de classe telle que , pour et
Montrer qu'alors, pour tout et tout
On obtient ainsi une condition nécessaire pour que corresponde aux longueurs minimales de trajectoires dans un milieu non-homogène.
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