ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2000

SESSION 2000

(Épreuve commune aux ENS : Ulm et Cachan)

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Dans tout le problème, désigne le disque fermé de centre 0 et de rayon 1 de , et son intérieur. On notera l'espace vectoriel normé des fonctions continues de dans , muni de la norme

On conviendra de noter indifféremment ou l'image par un élément du vecteur . Sur l'espace vectoriel orienté muni de sa structure euclidienne canonique, on note l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1 et celui des endomorphismes symétriques (c'est-à-dire autoadjoints). On notera le produit scalaire de deux vecteurs et de , et leur déterminant dans une base orthonormée directe.

On s'intéresse, pour des applications , aux propriétés suivantes:
(P1) .
(P2) .
(P3) croissante continue, .

Les trois parties du problème sont très largement indépendantes.
Seule la question III.8. utilise des résultats de la partie II.

Dans cette partie, pour toute fonction de dans , on notera l'ensemble (éventuellement vide) des points de où atteint un minimum absolu.

Soit une fonction convexe, c'est-à-dire telle que

I.1.a. Montrer que si et sont deux éléments de tels que , alors .
I.1.b. En déduire que est un intervalle de , et montrer qu'il peut être vide.
1.2. Montrer que pour tous réels tels que , on a

I.3. En déduire que est continue sur .
1.4. On suppose de plus que . Montrer que n'est pas vide.
1.5. Soient un entier naturel non nul et des nombres réels. On pose, pour et ,

I.5.a. Montrer que pour tout est un singleton.
I.5.b. Calculer .
I.5.c. Soit une permutation de telle que

Montrer que si est impair, alors

Calculer lorsque est pair.

Soit un élément de . On désigne par l'intégrale double de sur , soit

On considère la fonction définie sur par

I.6. Montrer que .
I.7.a. Montrer que

et qu'il y a égalité si et seulement si .
I.7.b. En déduire que est une fonction convexe, puis que est un singleton. Dans toute la suite, on notera l'unique élément de ( est donc une application de dans ).
I.8. Montrer que vérifie la propriété ( P 1 ), et que .
I.9. On définit, pour réel non nul,

Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes:

1.12.a. Montrer que est impaire. En déduire .
I.12.b. Montrer que

où
I.12.c. En déduire que

I.12.d. Montrer que .

Dans cette partie, on considère une application de dans vérifiant les propriétés , (P2) et (P3). On définit la fonction

et pour , on pose

Le but de cette partie est d'étudier le comportement de quand tend vers 0.
II.1.a. Montrer que

II.1.b. Montrer que est 1-lipschitzienne.
II.1.c. En déduire que est -lipschitzienne.
II.2. Soit un élément de de classe sur . Pour tout dans , on note le vecteur gradient de en et sa différentielle seconde, considérée comme un élément de . Montrer que

II.3. Montrer que

où est une fonction de dans .
II.4. Soit un élément de de classe sur tel que et . Montrer qu'il existe un unique élément de tel que l'application vérifie .
II.5.a. Montrer que .
II.5.b. On note ( étant muni de sa base canonique). Montrer qu'il existe une constante et un élément de de classe sur tels que

II.6.a. Montrer que pour tous réels et , il existe une bijection croissante de classe telle que la fonction

vérifie et .
II.6.b. Etablir que .
II.7.a. Montrer que .
II.7.b. En déduire que

II.8. Montrer que si , alors .
II.9. Soit et deux fonctions à valeurs réelles, et . On appelle divergence de la fonction

II.9.a. Calculer en fonction de et .
II.9.b. On suppose que est de classe au voisinage de 0 . Montrer que pour tout élément de , on a

II.10. Soit est un élément de de classe sur tel que . Montrer que si , alors

II.11. Soit l'ensemble des segments fermés du plan, de longueur 2, et dont le milieu est en . On considère l'application

Donner, lorsque est un élément de de classe sur tel que , un équivalent de quand tend vers 0.

On considère un réel strictement positif et une application

de classe , 1-périodique par rapport à , et telle que ne s'annule jamais. Ainsi, en tout point on peut définir le vecteur unitaire tangent, noté , le vecteur normal (image de par la rotation vectorielle d'angle ), et la courbure de l'arc paramétré . On dira alors que est solution de si

III.1. Déterminer toutes les fonctions telles que soit solution de (P).
III.2.a. On pose . Montrer qu'il existe une unique application : telle que

et que est de classe sur .
III.2.b. Pour toute fonction , on note la fonction définie sur . Montrer que si est , alors

III.3.a. Dans toute la suite, on suppose que est solution de (P). Montrer que

III.3.b. Montrer que si est de classe , on a

III.3.c. En déduire que

III.4. Montrer qu'il existe tel que

III.5. Soit le périmètre de sur une période. Montrer que est dérivable et que

En déduire que .
III.6. Soit

Montrer que .
III.7. On suppose que , que et que

Montrer que

III.8. Soit de classe telle que

Montrer qu'en tout point tel que , on a

où désigne la restriction de à fixé, c'est-à-dire la fonction de deux variables réelles , et div est l'opérateur défini au II.9.