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ENS Mathématiques Lyon Cachan MP 2001

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionTopologie/EVN

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X-ENS MP X-ENS 2001 MP Maths Maths 2001

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SESSION 2001

Filière MP

MATHÉMATIQUES

(Épreuve commune aux ENS: Lyon et Cachan)

Durée : 4 heures

L'espace

est considéré muni de sa structure hermitienne, c'est à dire du produit hermitien

et de la norme

On note

l'espace des matrices

à coefficients dans

. On identifie

à l'espace

des applications linéaires de

dans

. On munit

de sa structure naturelle d'algèbre involutive, c'est à dire:

de sa structure de C-espace vectoriel,
du produit usuel des matrices,
de l'involution avec

On rappelle que

comme opérateur sur

est caractérisé par

pour tous

. On a alors,

, pour toutes matrices

. Une matrice

est dite auto-adjointe si elle vérifie

.
On rappelle que toute matrice auto-adjointe a ses valeurs propres réelles et se diagonalise dans une base orthonormée pour le produit hermitien.

On rappelle enfin que la norme usuelle sur

est donnée par

I. Normes

a) Calculez la norme d'une matrice qui est diagonale dans la base canonique.
b) Soit et . Montrez que toutes les valeurs propres de sont positives.
c) Montrez que pour tout on a

où

sont les valeurs propres de

.
d) Montrez que

, pour tout

.
2) Soit

une norme sur

telle que

pour tout

. Soit

.
a) Soient

les valeurs propres de

. Montrez que

b) Montrez que la seule norme sur

qui vérifie

, pour tout

, est la norme usuelle

II. Commutants

Soit

une sous-algèbre de

. On dit que

est auto-adjointe si pour tout

on a

est une sous-algèbre de

, contenant la matrice identité

, et que

est auto-adjointe, on dit que

est une sous *-algèbre de

.
Pour toute sous *-algèbre

, on pose

Montrez que est une sous *-algèbre de .
Montrez que

et que

Soit un sous-espace de et le projecteur orthogonal de sur . On dit que est invariant par si pour tout (avec ).
Montrez que est invariant par si et seulement si .
Soit . On identifie à en identifiant le vecteur ( ) au vecteur , où . On identifie ainsi à (les matrices à coefficients dans ).
Soit

Soit

une famille d'éléments de

Soit maintenant

une sous *-algèbre de

. On pose

.
a) Montrez que

est un sous-espace vectoriel de

Soit

le projecteur orthogonal de

sur

.
b) Montrez que

(le ' est sous-entendu dans

).
c) Montrez que

.
d) Montrez que

.
e) Soit

, montrez que

est invariant par

.
f) En déduire que

.
5) Soit

une sous *-algèbre de

.
a) Montrez que si

vérifie

, alors

s'écrit

où

et où les

sont des projecteurs orthogonaux qui appartiennent à

.
b) En déduire que si

est une sous *-algèbre de

qui n'admet pas d'espace invariant

autre que

, alors

(Indication: Montrez que

est réduit aux multiples de l'identité).

III. Algèbres de Clifford

Soit

. Considérons l'algèbre

. On choisit une base orthonormée quelconque de

, mais on choisit de l'indexer par

, l'ensemble des parties de

. Soit

une telle base orthonormée. Pour tout

on définit l'application linéaire

par

pour tout

a) Dans le cas , écrire la matrice de . Dans le cas , écrire la matrice de et de .
b) Dans le cas général, montrez que est donné par

c) On considère

le sous-espace de

formé par les combinaisons linéaires de matrices de la forme

. Montrez que

est une sous *-algèbre de

.
d) Montrez que

.
2) Dans le cas

, on note

, pour

Dans le cas général on note

, pour

.
a) Montrez que

.
b) Montrez que, pour tous polynômes

à une variable, on a

c) En déduire que

.
d) En déduire