ENAC Mathématiques Sup 2009

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

QUESTIONS LIÉES
Exercice 1 : Questions 1 à 12
Exercice 2 : Questions 13 à 22
Exercice 3 : Questions 23 à 27
Exercice 4 : Questions 28 à 31
Exercice 5 : Questions 32 à 36

On note l'ensemble des réels, et .
Soit l'ensemble des fonctions continues sur .
On considère alors l'application définie par :

Question 1 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) Si note la composition de deux applications, ( ) est un groupe.
B) note la somme de deux applications, est un groupe commutatif d'élément neutre .
C) Si . note la multiplication d'une application par un scalaire, ( , .) est un -espace vectoriel de dimension infinie.
D) note la multiplication de deux applications, ( ) est un corps.

Question 2 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) admet une primitive, car pour toute fonction définie sur en est une primitive.
B) est prolongeable par continuité en .
C) Pour toute de est prolongeable par continuité en en posant .
D) Pour toute de est prolongeable par continuité en en posant .
Nota Bene : Dans toute la suite, si l'on a prolongé une fonction par continuité en , on continuera à appeler cette fonction ainsi prolongée.

Question 3 : On peut affirmer dès lors que :
A) définit un endomorphisme de , puisque .
B) et donc est linéaire.
C) puisque est continue sur .
D) puisque est continue sur .

Question 4 : Si on étudie la dérivabilité de sur , on peut affirmer que:
A) Si est dérivable en et sa dérivée vaut .
B) Si est dérivable en et sa dérivée vaut .
C) Si est la fonction définie par alors .
D) est dérivable en .

Question 5 : Si est de classe sur , la formule de Taylor-Young va nous permettre d'écrire que :
A)
B)
C) Si
D) Si

Question 6 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) Un théorème du cours permet d'affirmer que si est une fonction définie sur , dérivable en tout point de sauf peut-être en un point réel , et si de plus existe et est fini alors est dérivable en .
B) Si est de classe sur , alors comme est continue sur , dérivable en tout point réel différent de , et que est dérivable sur .
C) Même si est de classe sur , on ne peut être certain que est de classe sur .
D) Si est de classe sur , il est certain que est de classe sur .

Question 7 : On cherche à savoir si est injective ou surjective. On peut dire que :
A) .
B) .
C) est injective car .
D) est surjective parce que pour un endomorphisme d'espace vectoriel, l'injectivité est équivalente à la surjectivité.
Question 8 : Soit un réel. On considère .
On veut résoudre l'équation d'inconnue :

A) S'il existe une solution, alors elle est unique. De plus, si , alors d'après la question 4, .
B) S'il existe une solution , alors elle n'est pas unique puisque toutes les fonctions de la forme où sont encore solutions.
C) Si , il existe une solution puisque est surjective.
D) Si , il ne peut exister de solution puisque n'est pas dérivable en .

Question 9 : Soit un entier naturel. On appelle l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à .
On munit de sa base canonique .
On appelle la restriction de à , c'est à dire l'application telle que

A) est un endomorphisme de , car .
B) et est injectif.
C) est surjectif puisque est injectif et que .
D) ne peut pas être surjectif puisque ne l'est pas.

Question 10 : On considère la famille ).
On notera (respectivement ) la matrice de relativement à la base (respectivement ).
désignera la matrice de passage de à .
Pour une matrice quelconque de taille , on notera l'élément de situé à la -ème ligne et la -ème colonne. On pourra noter .
désigne le coefficient binômial si et 0 sinon.
A) est une base de car si est nul, on retrouve la base initiale.
B) .
C) .
D)

Question 11 : On peut dès lors affirmer:
A) est inversible, car les matrices de passage sont toujours inversibles et .
B) est inversible, car les matrices de passage sont toujours inversibles et .
C) est la matrice diagonale telle que: .
D) est la matrice diagonale telle que: .

Question 12 : Grâce aux résultats de la question 11, on peut affirmer que :
A)
B)
C) Pour tout entier naturel , il existe une unique solution à l'équation d'inconnue :

D) Pour tout entier naturel , il existe une infinité de solutions à l'équation d'inconnue

FIN DE L'EXERCICE 1

On se place dans le plan euclidien .
On choisit deux points distincts et . On notera .
Le but de cet exercice est l'étude de l'ensemble des points du plan vérifiant

Question 13 : Soit un repère orthonormé du plan tel que soit le milieu de et soit porté par ( ). Alors :
A) .
B) .
C) .
D) ou .

Question 14 : L'ensemble admet pour équation en coordonnées polaires : (On ne demande pas de vérifier ce résultat qui doit être admis).
On a donc, en notant l'unique solution (si elle existe) d'inconue de l'équation polaire :
A) donc est symétrique par rapport à l'origine du repère.
B) donc est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
C) donc est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
D) On peut se contenter de mener l'étude de la courbe pour puis utiliser trois symétries minimum pour construire le reste de .
Question 15 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) est dérivable sur , de dérivée négative, donc est dérivable sur , de dérivée négative.
B) est décroissante sur comme composée de deux fonctions décroissantes sur .
C) donc admet une tangente horizontale au point .
D) admet la droite d'équation comme tangente et se situe au-dessus de cette tangente.
Question 16 : Si on considère l'ensemble , on voudrait connaître l'aire intérieure, notée , à la courbe. On peut écrire que :
A) .
B) .
C) .
D) .

Soit un point du plan. Soit un réel non nul.
Si note la mesure algébrique du segment , on définit par la donnée de vérifiant :

Question 17 : On peut alors affirmer :
A) est une application bien définie de dans lui-même puisque pour chaque point de , il existe un et un seul point vérifiant et .
B) est une application bien définie de puisque pour chaque point de , différent de , il existe un et un seul point vérifiant et .
C) Si est une bijection de bijection réciproque .
D) Si est une bijection de bijection réciproque .

On se ramène au plan complexe. Soit deux points et de tels que et soient alignés et distincts.
On note et les affixes respectifs de et .
Question 18 : On peut alors démontrer que:
A) .
B) Si , alors .
C) Les points fixes de forment le cercle de centre et de rayon .
D) Il existe tel que ne possède qu'un point fixe unique.

Dans les questions 19 et 20, on va chercher à déterminer la composée où .

Question 19 : Avec les notations de la question précédente, on supposera que . On peut démontrer que :
A) Si .
B) Si est distinct de .
C) Si et si , alors .
D) Si et si , alors .

Question 20 : On supposera dans cette question que et .
On notera de plus avec . Il est possible de montrer que :
A) est une application affine et son application linéaire associée est donnée par la matrice et est le point d'affixe .
B) est une matrice orthogonale de déterminant négatif c'est donc une rotation vectorielle et est une rotation.
C) est une matrice orthogonale de déterminant négatif, c'est donc une symétrie orthogonale vectorielle et est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine.
D) possède des points fixes et est orthogonale. ne peut donc qu'être une symétrie orthogonale vectorielle et est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine.
Question 21 : On supposera dans cette question que et .
Il est possible de montrer que :
A)
B)
C) où est le point d'affixe et
D) où est le point d'affixe et

Question 22 : On considère la conique définie par .
On peut alors affirmer :
A) La nature de dépend de la valeur de . Plus précisément, c'est une ellipse si , une hyperbole si .
B) Une équation polaire de est .
C) Si on note un point de et un point de la conique tels que , alors .
D)

Dans cet exercice, désigne un réel strictement positif et est l'application définie par :

est prolongeable par continuité en 0 par la valeur . On continuera à appeler l'application de ainsi définie.

Question 23 : On peut affirmer que:
A) est dérivable sur de dérivée : .
B) est strictement croissante sur comme somme d'une fonction croissante sur et d'une fonction strictement croissante sur .
C) Si est une fonction strictement croissante définie sur , alors est une bijection de sur .
D) Pour pouvoir affirmer qu'une fonction strictement croissante est une bijection de sur , il est nécessaire que soit continue.