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ENAC Mathématiques Sup 2002

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesAlgèbre linéaire
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2002
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SUP
Matière
Maths
Autres SUPAutres 2002SUP MathsMaths 2002
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CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1
Le sujet comprend:
  • 1 page de garde,
  • 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
  • 12 pages de texte, numérotées de 1 à 12 .

CALCULATRICE AUTORISEE

Questions liées: 1 à 16
17 à 25
26 à 30

PARTIE I

Dans toute cette partie le corps de base est celui des nombres réels; on désigne par la partie entière du nombre réel et par un entier naturel.

Question 1

Soit un polynôme de degré à une indéterminée à coefficients entiers de la forme avec , admettant une racine rationnelle ou et étant premiers entre eux ou étrangers. On a alors:
a) divise et divise
b) et divisent
c) divise et divise car divise
d) divise mais ne divise pas

Question 2

Soit la fonction polynôme définie par
a) admet au moins 2 racines réelles car sa dérivée s'annule en 2 points
b) admet une racine rationnelle et 2 racines complexes conjuguées
c) ne possède aucune racine réelle
d) admet 2 racines complexes conjuguées et une racine réelle dans l'intervalle

Question 3

Soit un réel quelconque, on peut écrire sous la forme où est un polynôme à une indéterminée.
a) de degré à coefficients entiers relatifs
b) de degré à coefficients réels non entiers
c) de degré à coefficients entiers relatifs
d) unique car l'application cos est surjective de sur

Question 4

Le polynôme défini dans la question 3 s'écrit pour
a)
b)
et pour
c)
d)

Question 5

On a la relation, pour tout réels
a)
b)
et la suite définie dans la question 3 vérifie, pour tout entier strictement positif.
c)
d)

Question 6

Cette suite de polynômes est telle que:
a) et est impair si est pair
b) le coefficient de est, pour tout entier non nul,
c)
d)

Question 7

Pour tout entier strictement positif les racines de ce polynôme sont:
a) où est un entier tel que
b) où est un entier est un entier tel que
c) des réels n'appartenant pas à l'intervalle
d) les réels de l'intervalle définis par où est un entier tel que

Question 8

Supposons , on note pour entier tel que les racines de et celles de , on a alors:
a)
b)
c).
d) car
On considère l'équation différentielle, pour

Question 9

La fonction définie sur par
a) forme une base de l'espace des solutions de ( )
b) est une solution de ( ) pour tout
c) vérifie l'équation ( ) uniquement pour
d) vérifie l'équation différentielle pour tout

Question 10

Si on pose on obtient pour fonction de
a)
b)
et l'équation ( ) est transformée en l'équation ( ) de la forme,
c)
d)

Question 11

Pour tout , entier naturel, la fonction polynôme définie à la question 3
a) est solution de ( )
b) est solution de
c) ne vérifie ni , ni
d) vérifie
Question 12
Pour tout entier naturel , on considère la fonction polynôme Si est solution de l'équation ( ), définie à la question 10 , les coefficients vérifient pour tout compris entre 0 et .
a)
b)
c)
d)

Question 13

Pour tout entier naturel , le polynôme défini à la question 3 est donc de la forme:
a)

b)

c)

d)
Soient et entiers naturels non nuls premiers entre eux (ou étrangers), tels que le rationnel vérifie et désignant l'ensemble des nombres rationnels)

Question 14

On a alors:
a) et
b)
c) et
d)

Question 15

La relation où est un entier non nul.
a) est impossible puisque
b) est impossible car est nécessairement impair
c) peut être réalisée
d) est impossible car

Question 16

L'égalité entier impair
a) ne peut être réalisée
Si cette égalité est réalisée on a:
b)
c) est racine du polynôme .
d) est racine de car a un terme constant nul.

PARTIE II

On désignera par l'espace vectoriel réel , des polynômes à une indéterminée à coefficients réels et par le sous-espace vectoriel des polynômes de de degré inférieur ou égal à 3 .
On considère l'application qui à tout élément de associe le polynôme défini par et on note la restriction de à

Question 17

Le sous-espace vectoriel est de dimension
a) 3
b) 4
et on a:
c) est une application linéaire de dans
d) est un endomorphisme de

Question 18

La matrice de l'application par rapport aux bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de cette application s'écrit:
a)
b)
c)
d)

Question 19

De manière générale, pour des matrices de type ( ) ( lignes et colonnes) à coefficients dans le corps ou , on a:
a) 2 matrices équivalentes sont semblables
b) 2 matrices équivalentes ont même rang
et lorsque l'on ajoute à la ligne d'une matrice de la ligne multipliée par , le rang de cette matrice,
c) est inchangée
d) peut être modifié

Question 20

Le rang de l'application
a) vaut 3 car est égal au nombre de colonnes non nulles de
b) est nécessairement inférieur ou égal à 3 car l'espace est de dimension 3
c) vaut 2 car il y a 2 colonnes de linéairement indépendantes
d) vaut 3 car on peut extraire au plus 3 colonnes ou lignes linéairement indépendantes de

Question 21

Les sous-espaces vectoriels noyau et image de sont tels que:
a)
b)
c) la famille de polynômes ( ) forme une base de
d) est le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 2
On considère la famille ( ) des polynômes de définie par et avec racine de .

Question 22

Ces polynômes vérifient:
a)
b) est divisible par
c) et
d) la famille ( ) forme une base de
On note base canonique de et la base de formée à l'aide des polynômes ( ) classés par ordre croissant de degré.

Question 23

La matrice de passage de la base à la base s'écrit:
a)
b)
c)
d)

Question 24

La matrice de l'application lorsque l'on rapporte à la base s' écrit:
a)
b)
c)
d)

Question 25

Soit l'application définie par . On a alors:
a) est un endomorphisme injectif mais non bijectif de
b) est un endomorphisme bijectif de car transforme une base de en une base de F
et la matrice de par rapport à la base canonique de vérifie:
c)
d)

PARTIE III

On pose pour tout entier naturel :

Question 26

La suite est telle que:
a)
b)
c) peut être nul pour certaines valeurs de
d)

Question 27

Pour tout entier on a la relation:
a)
b)
c)
d)

Question 28

Le terme général de cette suite s'écrit, pour tout entier naturel
a)
b) et
c) et
d) et

Question 29

La suite
a) est strictement croissante
b) est décroissante et peut être stationnaire et elle vérifie les inégalités
c)
d) et

Question 30

La suite
a) est convergente car les suites et sont adjacentes
b) est divergente car les suites et ne convergent pas vers la même limite
et pour tout entier naturel , on a, en introduisant le changement de variable
c)
d)
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