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E3A Mathématiques PSI 2020

Quatre exercices indépendants

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GéométrieIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
E3A
Année
2020
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2020PSI MathsMaths 2020
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai:
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Exercice 1.

Pour tout entier naturel , on définit sur l'intervalle la fonction par :
  1. Démontrer que la série de fonctions converge simplement sur .
On note alors pour tout de sa somme.
2. Montrer que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur .
3. Étudier alors sa convergence uniforme sur .
4. Déterminer .
5. Pour , on pose .
5.1. Justifier la convergence de la série de terme général . On note sa somme.
5.2. Montrer que l'on a au voisinage de l'infini : .

Exercice 2.

Soient et . On dit que la matrice est à diagonale propre lorsque son polynôme caractéristique est .
  1. Donner deux exemples de matrices à diagonale propre qui ne sont pas diagonales.
  2. Soient et deux réels et .
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels et pour que soit une matrice à diagonale propre.
3. Soient et des variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un espace probabilisé et qui suivent toutes les trois la loi géométrique de paramètre .
3.1. Préciser . Donner la loi de la variable aléatoire et donner sans démonstration les valeurs de son espérance et de sa variance.
3.2. Exprimer l'évènement [ ] sous forme d'une réunion dénombrable d'évènements incompatibles.
3.3. Pour tout , on pose : .
On notera ainsi la fonction qui, à tout de , associe .
Déterminer la probabilité pour que soit une matrice à diagonale propre.
4. Soit . On rappelle que désigne la matrice transposée de la matrice .
4.1. Calculer en fonction des coefficients de la matrice où désigne la trace de la matrice .
4.2. On suppose dans cette question que est une matrice symétrique réelle.
Démontrer que où les sont les valeurs propres distinctes ou non de la matrice .
4.3. Déterminer les matrices symétriques réelles à diagonale propre.

Exercice 3.

Soient un réel strictement positif et une fonction continue sur .
Pour tout réel, on pose , lorsque cela existe.
  1. Dans cette question, et uniquement dans cette question, est la fonction .
    1.1. En utilisant un développement asymptotique de au voisinage de , donner un équivalent de lorsque tend vers l'infini.
    1.2. En déduire l'ensemble des valeurs du réel pour lesquelles existe.
    1.3. Donner alors un équivalent de lorsque tend vers l'infini.
  2. On suppose qu'il existe et deux réels pour lesquels et existent. Prouver que l'on .
  3. Pour tout réel, on pose .
    3.1. Justifier que est de classe sur et préciser .
    3.2. Démontrer que si est bornée sur , alors existe et que .
  4. Désormais on suppose que est continue sur et -périodique ( ).
    4.1. Démontrer que la fonction qui à tout réel associe est constante. Montrer alors que l'on a, pour tout réel .
    4.2. Montrer qu'il existe une unique valeur du réel pour laquelle la suite est bornée.
    4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonction est périodique et bornée dans .
    4.4. Déterminer alors toutes les valeurs du réel pour lesquelles converge.
    4.5. Dans le cas où , déterminer un équivalent de lorsque tend vers l'infini.
  5. Pour tout entier naturel non nul, on pose et .
    5.1. Prouver que existe. On admettra qu'il en est de même pour .
    5.2. Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de la fonction .
    5.3. Démontrer que la suite est bornée.
    5.4. On effectue dans le changement de variable .
    5.4.1. Donner un équivalent de lorsque tend vers l'infini. On pourra utiliser les résultats établis à la question 4.
    5.4.2. En déduire un équivalent de lorsque tend vers l'infini.

Exercice 4.

Soient un plan vectoriel, une base de et fixé.
On considère l'endomorphisme de représenté par sa matrice dans la base .
On définit alors sur une forme bilinéaire symétrique par les relations :
On rappelle qu'une forme bilinéaire sur est une application de dans , linéaire par rapport à chacune de ses variables.
  1. Soient et deux vecteurs de . Exprimer en fonction des réels et .
  2. Montrer que est un produit scalaire sur .
  3. Prouver que est une isométrie pour le produit scalaire .
  4. Déterminer un vecteur tel que soit une base orthonormée pour et que .
  5. Expliciter la matrice de dans la base . Préciser la nature de .
  6. Soit . Pour quelles valeurs de a-t-on ?

FIN

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