E3A Mathématiques PSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Quatre exercices indépendants

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Présentation du sujet

Difficile

Quatre exercices indépendants : série de fonctions, matrices à diagonale propre, intégrale paramétrée et forme bilinéaire

Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants couvrant une large partie du programme des deux années de PSI. Le premier étudie les différents modes de convergence d'une série de fonctions alternée, le deuxième caractérise des matrices dites à diagonale propre en mêlant algèbre linéaire et probabilités, le troisième étudie une intégrale généralisée paramétrée liée à une fonction périodique, et le dernier porte sur une forme bilinéaire symétrique et une isométrie en géométrie euclidienne.

1Exercice 1Étude de la convergence simple, normale puis uniforme d'une série de fonctions alternée, et de son comportement asymptotique.
2Exercice 2Caractérisation des matrices à diagonale propre, avec une application faisant intervenir des variables aléatoires suivant une loi géométrique.
3Exercice 3Étude d'une intégrale généralisée paramétrée par un réel, dans le cas d'une fonction continue puis d'une fonction périodique.
4Exercice 4Étude d'une forme bilinéaire symétrique sur un plan vectoriel et d'une isométrie associée.

Difficile. Le rapport conclut que des résultats élémentaires du programme sont méconnus de trop nombreux candidats et que les théorèmes classiques sont souvent mal compris, ce qu'il qualifie lui-même de très décevant.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre convergence normale et convergence absolue · Confusion entre série numérique et série de fonctions · Exemples invalides de matrice à diagonale propre

Le sujet visait à mobiliser les résultats du cours des deux années, avec quelques questions plus fines pour les meilleurs candidats. Le jury constate cependant que des notions élémentaires (convergence normale, théorème fondamental de l'analyse, fonctions périodiques) sont mal maîtrisées, que la rédaction manque souvent de rigueur, et que de nombreuses copies sont mal présentées. Il relie en partie ce constat au manque d'enseignement en présentiel depuis le mois de mars et aux difficultés liées au confinement.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre convergence normale et convergence absolue
Dans l'exercice 1, la notion de convergence normale d'une série de fonctions est souvent assimilée à tort à la convergence absolue.
2
Confusion entre série numérique et série de fonctions
De nombreux candidats confondent une fonction avec un nombre, et une série numérique avec une série de fonctions, dans l'exercice 1.
3
Exemples invalides de matrice à diagonale propre
Pour la première question de l'exercice 2, des candidats proposent la matrice nulle ou la matrice identité, qui sont diagonales et ne conviennent donc pas comme exemple.
4
Lacunes en probabilités
La méconnaissance des rudiments du cours de probabilités pénalise lourdement de nombreux candidats sur l'exercice 2.
5
Équivalent nul par oubli d'un cas particulier
Dans l'exercice 3, beaucoup de candidats trouvent un équivalent nul en oubliant un cas particulier, et justifient rarement la continuité de la fonction à intégrer.
6
Calculs menés sans support géométrique
Dans l'exercice 4 de géométrie euclidienne, de nombreux candidats mènent des calculs sans faire de dessin ni chercher à en interpréter le sens.

Conseils du jury

Bien distinguer convergence normale et convergence absolue, et vérifier toutes les hypothèses d'un théorème avant de l'utiliser.
Utiliser des développements limités plutôt que d'additionner directement des équivalents.
Consolider les rudiments du cours de probabilités, qui restent exigibles dans une épreuve de mathématiques générale.
Justifier chaque étape d'une démonstration plutôt que de se contenter d'affirmations non étayées.
Faire des dessins en géométrie pour visualiser la situation avant de se lancer dans les calculs.
Soigner la présentation de la copie et l'ordre de traitement des questions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai:

14h - 18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Exercice 1.

Pour tout entier naturel

n

, on définit sur l'intervalle

J = [1, + \infty[

la fonction

f_n

par :

f_n(x) = ((- 1)^n)/(\sqrt(1 + nx))

Démontrer que la série de fonctions $\sum_(n ⩾ 0)f_n$ converge simplement sur $J$ .

On note alors pour tout

x

J, φ(x)

sa somme.
2. Montrer que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur

J

.
3. Étudier alors sa convergence uniforme sur

J

.
4. Déterminer

ℓ = lim_(x \to + \infty)\sum_(n = 0)^(+ \infty)f_n(x)

.
5. Pour

n \in ℕ^⋆

, on pose

u_n = ((- 1)^n)/(\sqrtn)

.
5.1. Justifier la convergence de la série de terme général

u_n

. On note

a = \sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n

sa somme.
5.2. Montrer que l'on a au voisinage de l'infini :

φ(x) = ℓ + a/(\sqrtx) + O(1/(x^(3/2)))

Exercice 2.

Soient

n \in ℕ^*

A = (a_(ij)) \in ℳ_n(ℝ)

. On dit que la matrice

A

est à diagonale propre lorsque son polynôme caractéristique est

χ_A = \prod_(i = 1)^n(X - a_(ii))

Donner deux exemples de matrices à diagonale propre qui ne sont pas diagonales.
Soient $α$ et $β$ deux réels et $M = (0, 0, α; 0, 0, β; α, β, 0) \in ℳ_3(ℝ)$ .

Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels

α

β

pour que

M

soit une matrice à diagonale propre.
3. Soient

X_1, X_2

X_3

des variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un espace probabilisé

(Ω, 𝒜, ℙ)

et qui suivent toutes les trois la loi géométrique de paramètre

1/3

.
3.1. Préciser

X_1(Ω)

. Donner la loi de la variable aléatoire

X_1

et donner sans démonstration les valeurs de son espérance et de sa variance.
3.2. Exprimer l'évènement [

X_1 = X_2

] sous forme d'une réunion dénombrable d'évènements incompatibles.
3.3. Pour tout

ω \in Ω

, on pose :

B(ω) = (0, 0, X_1(ω) - X_2(ω); 0, 0, X_2(ω) - X_3(ω); X_1(ω) - X_2(ω), X_2(ω) - X_3(ω), 0)

On notera ainsi

B = (0, 0, X_1 - X_2; 0, 0, X_2 - X_3; X_1 - X_2, X_2 - X_3, 0)

la fonction qui, à tout

ω

Ω

, associe

B(ω)

.
Déterminer la probabilité pour que

B

soit une matrice à diagonale propre.
4. Soit

A = (a_(ij)) \in ℳ_n(ℝ)

. On rappelle que

A^T

désigne la matrice transposée de la matrice

A

.
4.1. Calculer

tr(A^T A)

en fonction des coefficients de la matrice

A

où

tr(M)

désigne la trace de la matrice

M

.
4.2. On suppose dans cette question que

A

est une matrice symétrique réelle.

Démontrer que

tr(A^T A) = \sum_(i = 1)^n λ_i^2

où les

λ_i

sont les

n

valeurs propres distinctes ou non de la matrice

A

.
4.3. Déterminer les matrices symétriques réelles à diagonale propre.

Exercice 3.

Soient

a

un réel strictement positif et

f

une fonction continue sur

ℝ

.
Pour tout

λ

réel, on pose

I(λ) = \int_a^(+ \infty)(λ - f(t))/t dt

, lorsque cela existe.

Dans cette question, et uniquement dans cette question, $f$ est la fonction $t \mapsto cos(t/(1 + t^2))$ .
1.1. En utilisant un développement asymptotique de $f$ au voisinage de $+ \infty$ , donner un équivalent de $λ - f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.
1.2. En déduire l'ensemble des valeurs du réel $λ$ pour lesquelles $I(λ)$ existe.
1.3. Donner alors un équivalent de $\int_a^x(f(t))/t dt$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
On suppose qu'il existe $λ$ et $μ$ deux réels pour lesquels $I(λ)$ et $I(μ)$ existent. Prouver que l'on $a : λ = μ$ .
Pour tout $x$ réel, on pose $H_λ(x) = \int_a^x(λ - f(t))dt$ .
3.1. Justifier que $H_λ$ est de classe $C^1$ sur $ℝ$ et préciser $H_λ^'(x)$ .
3.2. Démontrer que si $H_λ$ est bornée sur $ℝ$ , alors $I(λ)$ existe et que $I(λ) = \int_a^(+ \infty)(H_λ(t))/(t^2) dt$ .
Désormais on suppose que $f$ est continue sur $ℝ$ et $T$ -périodique ( $T > 0$ ).
4.1. Démontrer que la fonction $φ$ qui à tout $x$ réel associe $φ(x) = \int_x^(x + T)f(t)dt$ est constante. Montrer alors que l'on a, pour tout réel $x : H_λ(x + T) - H_λ(x) = λT - \int_0^T f(t)dt$ .
4.2. Montrer qu'il existe une unique valeur $λ_0$ du réel $λ$ pour laquelle la suite $(H_λ(a + nT))_(n \in ℕ)$ est bornée.
4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonction $H_λ$ est périodique et bornée dans $ℝ$ .
4.4. Déterminer alors toutes les valeurs du réel $λ$ pour lesquelles $I(λ)$ converge.
4.5. Dans le cas où $λ_0 \neq 0$ , déterminer un équivalent de $\int_a^x(f(t))/t dt$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $A_n = \int_0^(π/2)(|sin(nt)|)/(sin(t))dt$ et $B_n = \int_0^(π/2)(|sin(nt)|)/t dt$ .
5.1. Prouver que $A_n$ existe. On admettra qu'il en est de même pour $B_n$ .
5.2. Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de la fonction $t \mapsto 1/t - 1/(sin(t))$ .
5.3. Démontrer que la suite $(A_n - B_n)_(n \in ℕ^*)$ est bornée.
5.4. On effectue dans $B_n$ le changement de variable $u = nt$ .
5.4.1. Donner un équivalent de $B_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. On pourra utiliser les résultats établis à la question 4.
5.4.2. En déduire un équivalent de $A_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Exercice 4.

Soient

E

un plan vectoriel,

B = (i⃗, j⃗)

une base de

E

θ \in ]0, π[

fixé.
On considère l'endomorphisme

f

E

représenté par sa matrice

C

dans la base

B : C = (0, - 1; 1, 2cos(θ))

.
On définit alors sur

E

une forme bilinéaire symétrique

Φ

par les relations :

Φ(i⃗, j⃗) = Φ(j⃗, i⃗) = cos(θ) et Φ(i⃗, i⃗) = Φ(j⃗, j⃗) = 1.

On rappelle qu'une forme bilinéaire sur

E

est une application de

E^2

dans

ℝ

, linéaire par rapport à chacune de ses variables.

Soient $X = x_1 i⃗ + x_2 j⃗$ et $Y = y_1 i⃗ + y_2 j⃗$ deux vecteurs de $E$ . Exprimer $Φ(X, Y)$ en fonction des réels $x_1, x_2, y_1, y_2$ et $θ$ .
Montrer que $Φ$ est un produit scalaire sur $E$ .
Prouver que $f$ est une isométrie pour le produit scalaire $Φ$ .
Déterminer un vecteur $k⃗ \in E$ tel que $(i⃗, k⃗)$ soit une base orthonormée pour $Φ$ et que $Φ(j⃗, k⃗) > 0$ .
Expliciter la matrice de $f$ dans la base $(i⃗, k⃗)$ . Préciser la nature de $f$ .
Soit $m \in ℕ^*$ . Pour quelles valeurs de $θ \in ]0, π[$ a-t-on $f^m = id_E$ ?

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques PSI e3a 2020 ?

Le sujet porte sur les séries de fonctions et leurs modes de convergence, la réduction des matrices, les probabilités discrètes, les intégrales généralisées de fonctions périodiques et les formes bilinéaires symétriques en géométrie euclidienne.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths PSI e3a 2020 ?

Le jury signale une confusion entre convergence normale et convergence absolue, des exemples invalides de matrices à diagonale propre, des lacunes en probabilités et un manque général de rigueur dans la rédaction des démonstrations.

Ce sujet de maths PSI e3a 2020 est-il difficile ?

Le rapport le juge décevant : des résultats élémentaires du programme, comme le théorème fondamental de l'analyse, sont méconnus de trop nombreux candidats, et les théorèmes classiques sont souvent mal compris.

Pourquoi les résultats sont-ils si décevants sur ce sujet de maths PSI e3a 2020 ?

Le jury relie en partie ce constat au manque d'enseignement en présentiel depuis le mois de mars et aux difficultés liées au confinement cette année-là.

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