Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice I

On désigne par

le corps

.
Soit

un entier naturel non nul et soit

.
Pour tout endomorphisme

, on note

le noyau de

, et

l'image de

Question de cours : Soient et deux endomorphismes qui commutent. Démontrer que et sont stables par .

Dans la suite de l'exercice,

désigne un endomorphisme de

tel que

.
2. Démontrer que

est contenu dans

.
3. Quelle inégalité obtient-on ainsi sur le rang de

? On citera précisément le théorème utilisé.
4. On suppose ici que

, soit

. On suppose ici

non nul.
(a) Démontrer qu'il existe une droite

dans

telle que

.
(b) Soit

un endomorphisme de

tel que

.
i. Démontrer que

.
ii. Démontrer que

.
(c) Soient

deux endomorphismes de

tels que

. Démontrer que

.
5. On revient au cas général. Soit

un entier naturel

. Soient

des endomorphismes de

tels que :

On pose

et pour un entier

compris entre 2 et

.
(a) Démontrer que, pour tout entier

compris entre 1 et

est un sous-espace vectoriel stable par

.
(b) En déduire que, pour tout entier

compris entre 1 et

est de dimension au plus

.
(c) Dans le cas où

, démontrer que l'endomorphisme

.
6. On suppose

dans ce paragraphe. Soit

muni du produit scalaire

usuel:

Pour toute matrice

, on note

le noyau de

, et

l'image de

Soit

. On note

la matrice transposée de

.
(a) Démontrer que

.
(b) On suppose de plus

. Démontrer que

Exercice II

Questions de cours : Enoncer précisément le théorème de convergence dominée.
Soit un entier naturel. On considère la fonction de la variable réelle définie par .
(a) Etablir le tableau de variation de sur l'intervalle .
(b) Représenter sur un même graphique les graphes des fonctions et .
Démontrer que la suite converge simplement sur vers une fonction que l'on explicitera. La suite converge-t'elle uniformément vers sur ?

On introduit la suite

définie par :

Démontrer que la suite est une suite monotone (on précisera le sens de monotonie) qui converge vers 0.
Démontrer que

En déduire un équivalent pour la suite .
Déterminer des nombres réels et tels que :

En déduire des nombres réels et qu'on explicitera tels que la suite ( ) admette un développement de la forme :

Soit une fonction de classe sur l'intervalle . On introduit la suite définie par :

Démontrer que pour tout entier naturel non nul

, la suite

admet un développement de la forme :

Exprimer les nombres

en fonction de

.
10. Soit

une fonction continue sur l'intervalle

. Démontrer que la suite

admet une limite finie et exprimer cette limite en fonction de

Exercice III

Soit

le plan euclidien muni du repère orthonormé

.
On identifiera le plan euclidien

au corps des nombres complexes

.
Soit

. On note

la conique d'équation

.
Soit

Quelle est la nature de la conique ?
Préciser les axes de la conique .
Représenter graphiquement la conique pour les valeurs particulières .
Justifier que le point est centre de symétrie de la conique .
Expliciter (en fonction de ) des nombres complexes tels que pour tout nombre complexe , on ait l'équivalence :

A quelle condition le point est-il un point de la conique ?

Dans toute la suite de l'exercice, on note

. Soit

le nombre complexe tel que

.
On suppose

.
7. Donner un polynôme de degré 2 dont les racines sont

. En déduire les valeurs de

.
8. Démontrer que

.
9. En déduire que :

soit et ,
soit et .

On admet que et que . Démontrer que et .
Démontrer que sont les trois racines du polynôme .
Déterminer un polynôme de degré 4 dont les racines sont .
En déduire que sont exactement les points d'intersection de la conique avec le cercle de centre 0 et de rayon 1 .
On note la symétrie orthogonale d'axe du plan euclidien .
(a) Quelle est l'image du point d'affixe ?
(b) Représenter sur une même figure le cercle de centre 0 et de rayon , ainsi que .
(c) Soit l'intersection du cercle de centre 0 et de rayon 1 et de . Décrire .