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E3A Mathématiques B MP 2008

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GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
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Banque
E3A
Année
2008
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2008MP MathsMaths 2008
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B MP

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I

  1. On considère la fonction de variable réelle définie par : .
    (a) Montrer que la fonction est définie sur .
    (b) Déterminer, pour tout , un réel dans tel que : .
    (c) Dériver et intégrer par parties pour en déduire que :
  1. Soit la fonction -périodique sur dont la restriction à est représentée dans un repère orthonormal ( ) par le demi-cercle de centre , de rayon et d'ordonnées positives.
    (a) Pour tout , donner l'expression de en fonction de .
    (b) Énoncer le théorème de Dirichlet. S'applique-t-il à la fonction ?
  2. (a) Exprimer, pour , les coefficients de FOURIER trigonométriques de notés et .
    (b) Montrer que: .
  3. (a) Établir la convergence normale de la série de FOURIER de . Cela contredit-il le ?
    (b) Montrer à l'aide du théorème de Parseval que la série de Fourier de converge vers .

Exercice II

Soient les fonctions de classe telles que : , ainsi que l'équation :
  1. (a) Montrer qu'une telle fonction vérifie l'équation si et seulement si il existe une fonction réelle , de classe sur , telle que :
(b) En déduire que les solutions de ( ) ne s'annulant pas sont exactement les fonctions de la forme , où et sont des fonctions de classe sur ne s'annulant pas. Pour une telle solution de , y-a-t-il unicité du couple ?
(c) Soient et deux fonctions de classe de dans et telles que . Montrer qu'il existe une et une seule solution de ne s'annulant pas et telle que :
  1. Dans cette question, désigne une solution de sur , strictement positive.
    (a) Montrer que présente en ( ) un maximum local si et seulement si les fonctions et présentent respectivement en et en un maximum local.
    (b) En déduire que l'ensemble des points de où présente un maximum local est de la forme , où et sont deux parties de à préciser.
  2. Soit maintenant la fonction définie par: .
    (a) Montrer que est de classe sur . (On pourra écrire comme une composée).
    (b) Démontrer que vérifie l'équation .
    (c) Montrer qu'il n'existe pas de fonctions de dans telles que :

Exercice III

Soit un espace euclidien de dimension 3 muni d'un repère orthonormal dans lequel on note le plan affine d'équation et la droite affine passant par et dirigé par .
On désigne par la projection affine orthogonale sur le plan ; il lui correspond la projection vectorielle orthogonale sur le plan vectoriel de base , liée à par : .
  1. (a) Montrer que, pour tous points et , on a la relation entre distances : . Préciser les cas où cette inégalité devient une égalité.
    (b) Soit une droite affine de , passant par un point et dirigée par un vecteur . Déterminer avec précision la nature de l'ensemble ?
  2. Soit une droite affine de , non parallèle à , et dont la projection orthogonale sur le plan est notée . On désigne alors par le projeté orthogonal du point sur .
    (a) Montrer l'existence d'un unique point de tel que .
    (b) désignant le projeté orthogonal de sur , montrer que :
On a donc : c'est la distance de à .
On rappelle d'autre part que si est parallèle à , la distance de à est l'une quelconque des distances , lorsque et que désigne le projeté orthogonal de sur .
3. On note le cylindre de révolution d'axe et de rayon 1 .
(a) Donner une équation cartésienne de et en déduire que les plans tangents à ce cylindre sont les plans d'équations , pour .
(b) Montrer que toute droite telle que est incluse dans un plan tangent à .
(c) Réciproquement, toute droite incluse dans un plan tangent à vérifie-t-elle ?
4. Soit une droite parallèle à et telle que , coupant le plan en un point .
(a) Soient, dans le plan , les cercles et de rayon 1 et de centres respectifs et . Déterminer dans ce plan les tangentes communes à et .
(On pourra au besoin considérer le plan comme orienté par la base .)
(b) Décrire précisément l'ensemble des droites affines de telles que .
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