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E3A Mathématiques B MP 2004

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GéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsRéduction
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Banque
E3A
Année
2004
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2004MP MathsMaths 2004
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP

durée 3 heures

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Exercice 1

On considère l'équation différentielle :
On considère la fonction de la variable réelle définie par:
  1. Montrer que est impaire.
  2. Montrer que est solution de l'équation différentielle .
  3. En déduire en fonction de toutes les solutions de l'équation différentielle .
  4. Soit une solution développable en série entière de l'équation différentielle (E).
    (a) Montrer que la suite vérifie la relation :
(b) Déterminer . Expliciter les coefficients pour .
(c) Montrer que la suite est uniquement déterminée par la valeur de , et exprimer les coefficients , pour tout , en fonction de .
(d) Réciproquement, on considère une suite vérifiant la relation de récurrence :
Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
(e) Expliciter le développement en série entière de .
5. On considère les fonctions et définies par:
(a) Expliciter le développement en série entière des fonctions et .
(b) En déduire le le développement en série entière de la fonction à l'aide d'un résultat dont on rappellera l'énoncé. En déduire la relation suivante :

Exercice 2

On considère le -espace vectoriel . On le munit du produit scalaire euclidien canonique et de la norme euclidienne associée , c'est à dire : pour tout et tout ,
On remarquera que .
On note l'ensemble des matrices ( 3,3 ) à coefficients réels, et la matrice identité de . Une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives est dite définie positive.
Pour , on note le sous-ensemble de défini par:
  1. Soit dans . On suppose que est une matrice orthogonale. Déterminer .
  2. Soient des réels tous non nuls. Soit la matrice diagonale :
Montrer que est un ellipsoïde.
3 Soit dans . On suppose inversible.
(i) Justifier que est une matrice symétrique définie positive.
(ii) En déduire qu'il existe une matrice diagonale , avec des coefficients diagonaux strictement positifs, et une matrice orthogonale telles que
(iii) On pose . Démontrer que est une matrice symétrique définie positive.
(iv) Montrer alors qu'il existe une matrice orthogonale telle que .
(v) En déduire que .
(vi) Démontrer que est un ellipsoïde.
4 Soient et dans . On suppose que et sont des matrices symétriques définies positives et que .
(i) Soit un vecteur non nul. En considérant le vecteur , démontrer que .
(ii) En déduire que :
On pourra commencer par exprimer le produit scalaire de deux vecteurs et en fonction des normes des vecteurs et .
(iii) En déduire que .
(iv) Soit une valeur propre de . A l'aide d'un théorème dont on rappellera l'énoncé, montrer que . En déduire que .
(v) Démontrer que .
5 Soient et dans , supposées inversibles. Montrer que si et seulement si il existe une matrice orthogonale telle que .

Exercice 3

Soit un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé ( ). Soit l'ellipse de centre paramétrée par :
  1. Soit . On note le point de de paramètre .
    (i) Montrer que l'équation de la tangente à au point est :
(ii) Montrer qu'il existe un unique point sur la tangente tel que les droites et sont orthogonales.
(iii) Quel est le point lorsque le point est un sommet de l'ellipse ?
(iv) Démontrer que les coordonnées du point sont :
On remarque dans la question 1 (iv) que les coordonnées du point dépendent de . On note ce point .
2. On se propose dans cette question d'étudier le lieu des points , lorsque parcourt l'intervalle . On admet que les dérivées respectives des fonctions et sont :
(i) Etablir le tableau de variations de la fonction , lorsque parcourt l'intervalle .
(ii) Démontrer qu'il existe un unique dans tel que et comparer à et . Calculer et .
(iii) Etablir le tableau de variations de la fonction , lorsque parcourt l'intervalle .
On note le lieu des points définis dans la question 1, pour .
3. Représenter les courbes et sur un même graphique.
4. Soit la translation de vecteur . On considère l'ellipse . On fait rouler sans glisser l'ellipse sur l'ellipse dans le sens trigonométrique. Quel est le lieu du centre de ?
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