On appelle la fonction de dans , paire et périodique de période , définie par :

1.1. Tracer les graphes des fonctions et , dérivée de la fonction .
1.2. Déterminer la série de Fourier associée à la fonction .

Etudier sa convergence.

En déduire la série de Fourier associée à la fonction et celle de définie par :

Etudier la convergence de ces séries.

La suite du problème consiste à rechercher les fonctions de classe sur et sur et vérifiant les conditions suivantes :

Une fonction vérifiant les quatre relations (1), (2), (3) et (4) est dite solution du problème .

Les parties 2 et 3 sont indépendantes.

On se propose de chercher des solutions de l'équation différentielle (1) sous la forme de fonctions définies sur par :

où est une fonction réelle de classe sur et une fonction réelle de classe sur .

1.1. Montrer que si les fonctions et sont solutions des équations différentielles :

où est un réel quelconque, alors la fonction vérifie (1).
1.2. Trouver toutes les solutions des équations différentielles précédentes.
1.3. On prend . Déterminer une suite de fonctions :

vérifiant (1), (2) et (3).

Soit :

et pour

Il s'agit de déterminer les coefficients pour que la fonction soit solution du problème ( ).
2.1. A l'aide de la relation (4), déterminer les coefficients .
2.2. Montrer qu'alors, la fonction est deux fois dérivable par rapport à et une fois par rapport à avec :

Trouver une solution au problème .

On note .
1.1. Montrer que est un espace vectoriel sur .
1.2. Prouver que si et sont solutions du problème ( ), alors .

Soit .
2.1. Calculer, pour tout , l'intégrale .
2.2. En déduire que .
2.3. On note

Montrer que est nulle sur . ( On pourra, pour , calculer ).
En déduire que .
2.4. Démontrer que ne contient que la fonction nulle.
2.5. Combien le problème possède-t-il de solutions?