Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Questions de cours

Citer le théorème de Cauchy linéaire pour un système différentiel.
On rappelle que j est le nombre complexe : où i vérifie .
2.1 Déterminer le module et un argument de j.
2.2 Déterminer la valeur de pour tout .
2.3 Déterminer les solutions dans du système : où et sont les inconnues.
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 3 .

Donner sans démonstration l'expression du déterminant de Vandermonde de la matrice

Le résultat et l'expression obtenus dans la question 3. ne devront plus être utilisés dans la suite du problème

Partie 1

Soient

un entier naturel supérieur ou égal à

une famille de

éléments de

Montrer que s'il existe un couple avec tel que , alors .
On suppose les distincts deux à deux et on note la colonne d'indice de la matrice .

Soient

des scalaires tels que

.
En utilisant le polynôme

, montrer que :

.
Que peut-on en déduire pour

? On ne calculera pas

.
3. On suppose toujours que les

sont distincts deux à deux.

Pour tout

, on définit sur

la fonction

par

3.1 Soient

des scalaires et

Calculer les dérivées successives de

jusqu'à l'ordre

.
3.2 En déduire que la famille

est libre dans

Partie 2

Soit

l'équation différentielle

Soit une solution à valeurs complexes de cette équation.
1.1 Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre ( ) vérifiée par la fonction .
1.2 Résoudre l'équation ( ).
1.3 En déduire l'ensemble des solutions à valeurs complexes de l'équation .
Soit le système différentiel à coefficients contants où et où et sont des fonctions de la variable réelle à valeurs dans .
2.1 La matrice est-elle diagonalisable dans ? dans ?
2.2 Résoudre le système .
2.3 Retrouver alors par cette méthode les solutions de l'équation obtenues à la question 1.3. de cette partie.
On considère la série entière réelle .
3.1 Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. On note alors, lorsque cela existe, .
3.2 Justifier que est de classe sur .
3.3 Déterminer les développements en série entière de puis pour tout .
3.4 En utilisant les questions précédentes, déterminer une expression de n'utilisant que des fonctions usuelles à valeurs réelles.
3.5 Déterminer une expression de n'utilisant que des fonctions usuelles à valeurs réelles.
3.6 Déterminer une expression de n'utilisant que des fonctions usuelles à valeurs réelles.

Partie 3

Dans la suite du problème

toutes les fonctions sont définies sur et à valeurs dans ou ,
est un entier naturel supérieur ou égal à 3 ,
est un élément de et .

En outre, lorsque

, on note

qui est donc un élément de

Soient :

l'équation différentielle linéaire : ,

1.1 Ecrire l'équation différentielle (

) à l'aide d'un système différentiel.
1.2 Montrer que si

, alors

.
1.3 Prouver que

est un sous-espace vectoriel de

.
1.4 Déterminer la dimension de

On prend jusqu'à la fin de cette partie :

2. Ecrire l'équation (

) dans ce cas.
3. Déterminer tous les nombres complexes

pour lesquels la fonction

appartient à

.
4. Donner une base de

. (On pourra utiliser des résultats obtenus dans la partie 1)
5. Soit

l'application qui à

associe

.
5.1 Vérifier que

est un endomorphisme de

est-il bijectif?

est-il diagonalisable?

Partie 4

Dans cette partie, on prend

et donc

et on considère l'équation différentielle :

.
On note

(resp.

) l'espace vectoriel des fonctions de

dans

solutions de l'équation différentielle

(resp.

) 。
Pour

dans

, on note

Montrer que cette expression a un sens pour tous et de .

On admettra que pour tout

, on a au voisinage de

et au voisinage de

.
2. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur

.
3. Montrer que

sont supplémentaires orthogonaux dans

.
4. Exemple :

On admet que

est définie et de classe

sur

tout entier.
4.1 Déterminer

de sorte que

.
4.2 Expliciter les projetés orthogonaux de

sur

et sur

.
4.3 En déduire une expression de

à l'aide de fonctions usuelles réelles.

E3A Mathématiques 2 PSI 2019

Épreuve de Mathématiques 2 PSI