E3A Mathématiques 2 PSI 2017

e3a 2017 - PSI2

• l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels
• la matrice nulle de et la matrice identité
• la transposée d'un élément de
• la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne et de la colonne
• l'ensemble des matrices symétriques de
• l'ensemble des matrices nilpotentes de , c'est à dire des telles qu'il existe un entier avec .

Questions de cours

1. Quelle est la dimension de ? En donner sans justification une base.
2. Soient . calculer le produit des matrices et . On montrera en particulier que ce produit est nul lorsque .
3. Enoncer le théorème de Cayley-Hamilton.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ( ou ) soit trigonalisable dans .

1 Propriétés élémentaires

Soit un élément de

1. La matrice peut-elle être inversible? Justifier votre réponse.
2. On note le spectre de , c'est à dire l'ensemble des valeurs propres complexes de la matrice . Déterminer et donner le polynôme caractéristique de .
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit diagonalisable.
4. Montrer que le sous-espace vectoriel de engendré par , noté , est inclus dans .
5. Vérifier que .
6. Montrer que si est semblable à , alors .
7. Montrer que .
8. En déduire qu'une condition nécessaire et suffisante pour que soit nilpotente est que .
   On pourra admettre ce résultat et l'utiliser dans la suite du problème.
9. Montrer que est trigonalisable dans . Quel est le rang maximal de ?
10. Soient .
    (a) On suppose que . Prouver alors que .
    (b) Ici, on suppose de plus que et . Montrer que et que .
11. Déterminer l'ensemble de toutes les matrices symétriques réelles appartenant à .
12. Dans cette question on suppose que la matrice nilpotente est antisymétrique.
    (a) Prouver que .
    (b) En déduire l'ensemble de toutes les matrices antisymétriques appartenant à (on pourra utiliser la trace).

2 Exemples

1. Dans cette question, on prend définie par : , c'est à dire

3 Sous-espace engendré par

• le sous-espace vectoriel de constitué des matrices de trace nulle
• le sous-espace de engendré par , c'est à dire l'ensembme de toutes les combinaisons linéaires (finies) d'éléments de .

1. Déterminer la dimension de .
2. Prouver que et sont inclus dans .
3. Pour tout , on note

4 Sous-espaces de dimension maximale contenus dans

1. Déterminer la dimension de .
2. Montrer que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice de . On pourra utiliser les résultats de la partie .
3. Démontrer que .
4. Soit un sous-espace vectoriel de contenu dans dont la dimension est notée .
   (a) On suppose que . Démontrer que . Conclure.
   (b) Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace de contenu dans ? Donner un exemple de tel sous-espace.

5 Un peu de topologie

1. Montrer que est une partie fermée de .
2. Soient et .

6 Deux autres résultats

1. On sait que est inversible. Calculer son inverse à l'aide des puissances de la matrice . On pourra utiliser une suite géométrique.
2. Donner sans démonstration le développement en série entière de la fonction .
3. Montrer qu'il existe une matrice telle que . On exprimera comme un polynôme de la matrice .