E3A Mathématiques 2 MP 2001

Soit un espace vectoriel réel de dimension finie, un sous-espace de et un groupe fini d'automorphismes linéaires de , de cardinal , tel que soit stable par tout élément de .

Le produit de deux endomorphismes de sera noté plus simplement .
À tout endomorphisme de , on associe défini par :

. Montrer que est un endomorphisme de commutant avec tout élément de .
. Calculer .
. Calculer la trace de en fonction de celle de .
. Soit un projecteur de d'image . Montrer que est inclus dans l'image de .
. Montrer que, pour tous et de , on a .
. Montrer que est un projecteur.
. Comparer les images de et de .
. Montrer que le noyau de est un supplémentaire de stable par tout élément de .
. Montrer que tout sous-espace vectoriel de stable par tout de admet un supplémentaire stable par tout de .

Soit la fonction définie sur privée du couple par la relation :

Soient et des nombres réels liés par les relations .
. Démontrer les inégalités et .
. Soit . Démontrer l'inégalité .
. Soit, sous les mêmes conditions, . Démontrer l'inégalité .
. Soit, sous les mêmes conditions, Montrer que est borné par une constante indépendante de lorsque tend vers zéro (on déterminera une telle constante sous la forme d'un entier).
. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de en un point .
. Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de en un point .
. Interpréter à la lumière de ces résultats la majoration obtenue dans la question .
. Calculer la tangente de l'angle du plan d'équation et du plan tangent au point ( ) de la surface définie par l'équation dans un repère orthonormé.
. Décrire le mouvement de ce plan tangent lorsque le point ( ) décrit une demi-droite du plan d'origine ( 0,0 ).

L'exercice étudie quelques propriétés des triangles pseudo-rectangles, c'est-à-dire des triangles d'un plan euclidien dont les mesures des angles, par définition strictement comprises entre 0 et , notées et , vérifient la relation :

Les longueurs des côtés sont notées . Les questions ci-dessous sont largement indépendantes entre elles.
. Décomposer un triangle équilatéral en trois triangles pseudo-rectangles.
. Déterminer le milieu du segment où est l'intersection de la droite et de la perpendiculaire issue de à la droite .
. Que peut-on dire des angles de la droite avec les deux bissectrices de l'angle en du triangle ?
. Calculer et l'aire du triangle en fonction de et du rayon de son cercle circonscrit.
. Les points et étant fixés dans le plan, indiquer une construction géométrique du troisième sommet à partir de la mesure de l'angle en . Quel est le lieu de ce sommet ?
. Que peut-on dire de la tangente en au cercle circonscrit au triangle ?
. Que peut-on dire de l'orthocentre du triangle ?
. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur et la distance de à la droite pour qu'un triangle soit pseudo-rectangle.