E3A Mathématiques 2 MP 2000

Soit E un espace vectoriel euclidien; on note l'ensemble des endomorphismes de E et le groupe orthogonal de ; pour tout endomorphisme , désigne l'adjoint de et, pour tout sous-espace vectoriel de E , on note la projection orthogonale de E sur .
Soit est un sous-espace vectoriel de E et .
(a) Préciser Ker f et à l'aide de F et g .
(b) Montrer l'existence d'un unique sous-espace vectoriel de E tel que :

(c) Donner une expression simplifiée de .
ø2 Soit F un sous-espace vectoriel fixé de E, distinct de E et de .
(a) Soit ; établir une condition nécessaire et suffisante pour que
et g commutent.
(b) Soit l'ensemble des tels que avec ; montrer que est un groupe isomorphe à un groupe connu; est-il un sous-groupe du groupe linéaire de E ?
(c) Montrer que l'ensemble des obtenu lorsque g décrit n'est pas stable par l'opération de composition.
Soit tel que .
(a) Établir que est une projection orthogonale.
(b) Montrer que : .
(c) En déduire l'existence d'un sous-espace vectoriel F de E et d'une application tels que : .

ø1 (a) Pour quels réels x la fonction dt est-elle définie ?
(b) Pour fixé, développer en série entière en 0 la fonction
.
ø2 (a) Calculer pour tout .
(b) En déduire que pour tout n! .
ø3 (a) Établir une relation simple entre dt et .
(b) Montrer que la fonction f est développable en série entière en 0 et préciser le rayon de convergence de cette série entière.
ø4 On pose dans cette question et l'on veut calculer .
On rappelle que pour fixé, la fonction admet pour primitive sur la fonction désigne l'argument de strictement compris entre et .
(a) Montrer que
(b) En précisant les éléments de l'ensemble , établir la décomposition en
éléments simples sur :

(c) Montrer qu'en calculant la partie logarithmique
s'annule.
(d) En posant , simplifier et en déduire
que :

ø5 Montrer que la fonction est développable en série entière en 0 et en déduire que :

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ( ) une base de E que l'on ne suppose pas orthonormale; l'ensemble des combinaisons linéaires de ([( ) ) à coefficients entiers forme alors un sous-groupe de (E,+) appelé réseau engendré par ([( ) ).
ø1 Soit D une droite réticulaire de , c'est-à-dire une droite vectorielle de E contenant au moins un vecteur non nul de ; établir l'existence dans de non nul tel que soit minimum et en déduire que .
ø2 Notant le produit mixte , on pose :

(a) Exprimer simplement le produit scalaire .
(b) Montrer que forme une base de E .
ø3 Soit P un plan réticulaire de , c'est-à-dire un plan vectoriel de E contenant au moins deux vecteurs linéairement indépendants de ; montrer l'existence d'un couple ( ) de vecteurs linéairement indépendants de tels que soit minimum lorsque , et en déduire que .
ø4 Dans ce qui suit, P désigne un plan réticulaire de , comme défini ci-dessus.
(a) Établir l'existence d'un triplet ( ) de nombres entiers relatifs premiers entre eux et tels que, pour , on ait :

(b) Étant donné un tel triplet , on définit pour les plans
affines d'équations dans la base ( ); montrer que les définissent une partition de l'ensemble .
(c) Exprimer la distance entre et à l'aide de .