Centrale Mathématiques 2 TSI 2006

Dans tout le problème, l'espace est rapporté à un repère orthonormal

Les autres repères qu'on utilise ne sont pas nécessairement orthonormaux. Ils ont tous la même origine . Les points sont désignés par des lettres minuscules. On note, avec une majuscule, (ou ), la matrice colonne des coordonnées du point dans le repère (ou ).
On note la matrice identité de et la transposée de la matrice . Si est carrée, son déterminant est noté . Si ne comporte qu'un seul élément, cet unique élément est noté .
Si est une matrice symétrique appartenant à , on appelle surface associée à dans le repère l'ensemble des points tels que soit la matrice nulle.

La matrice est diagonale. Ses termes diagonaux sont 1,1 et -1 .
On note les coordonnées du point dans .
I.A.1) Calculer le produit matriciel .
I.A.2) En déduire que est une équation cartésienne de la surface associée à dans le repère .
I.A.3) Quelle est la nature de ? Représenter la partie de comprise entre les plans d'équations et .

On revient au cas général. Soit la surface associée à la matrice symétrique dans le repère .
I.B.1) En posant , donner une équation cartésienne de dans le repère .
I.B.2) Soit inversible, et soit le repère tel que soit la matrice de passage de la base de à la base de . Soit la matrice des coordonnées du point dans . Exprimer en fonction de et de .
I.B.3) On pose ; montrer que la matrice est symétrique.

Montrer que est inversible si et seulement si est inversible.
I.B.4) Montrer que est l'ensemble des points qui vérifient .

I.C.1)
a) Justifier que les racines du polynôme caractéristique de sont réelles et qu'on peut choisir la matrice précédente orthogonale de sorte que soit diagonale. On énoncera avec précision le théorème utilisé.
b) Écrire une équation de dans .
I.C.2) On suppose inversible.
a) Montrer que .
b) On suppose que ne sont pas tous de même signe. Montrer qu'on peut trouver un repère orthormal dans lequel admette une équation de la forme . Montrer que est un cône de sommet .
c) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) sont de même signe.
(ii) La surface est réduite au point .

On considère une matrice réelle ou complexe , carrée de taille 3 .
On appelle comatrice de la matrice où figure, à la -ème ligne, -ème colonne, le déterminant, multiplié par , de la sous-matrice de obtenue en barrant la -ème ligne et la -ème colonne. On note la transposée de la comatrice de .
I.D.1) Montrer que . On se bornera à calculer un terme diagonal et un terme non diagonal du produit .
I.D.2) En supposant que est inversible, exprimer en fonction de et de .

Soient et deux matrices colonnes à trois éléments et une matrice symétrique.
I.E.1) Montrer que .
I.E.2) Posons et . Si est une matrice colonne à trois éléments, vérifier que .

Dans cette partie, est une matrice symétrique, appartenant à , inversible et dont les valeurs propres ne sont pas toutes de même signe; est la surface associée à dans le repère .
Soit l'intersection de et du plan d'équation et soit un point de ce plan, n'appartenant pas à .
On admet que est une conique (ellipse, hyperbole ou parabole).

Soit un point non aligné avec et . Soit un réel et le point dont la matrice des coordonnées dans est .
II.A.1) Montrer que, quel que soit , le point est distinct de et appartient au plan passant par et .
II.A.2) Montrer que appartient à si et seulement si vérifie une certaine équation du second degré dont le discriminant est

On admet, dans toute la suite du problème, que, si le point est dans le plan et est distinct de , alors la droite ( ) est tangente à la conique si et seulement si .
II.B - On pose .
II.B.1) Montrer que est l'unique terme de .
II.B.2) Montrer que la matrice est symétrique. On note la surface qui lui est associée dans le repère .
II.B.3) Montrer que la droite est contenue dans .
II.C - Soit une matrice unicolonne à 3 éléments.
II.C.1) Montrer que . ( ).
II.C.2) En déduire que 0 est valeur propre de et que le sous-espace propre associé est la droite dirigée par .
II.C.3) En déduire que est de rang 2.

II.D.1) En utilisant I.C.1), montrer qu'il existe un repère dans lequel a une équation de la forme , où les réels et sont non nuls.
II.D.2) En déduire que, suivant les signes de et est formée de deux plans se coupant suivant la droite ou réduite à cette droite .
II.D.3) En déduire que le nombre de tangentes à qui passent par est égal à 0 ou à 2 .

Dans cette partie, on considère deux matrices et appartenant à . Ces matrices sont symétriques et inversibles; elles ont chacune trois valeurs propres non de même signe.
Soient et les surfaces associées à et dans le repère .
On note et les intersections de et et du plan . Les courbes et sont donc des coniques. On suppose qu'on peut mener par tout point de deux tangentes à et que ces tangentes recoupent en deux points et distincts de . On dira que a la propriété si et seulement si la droite est tangente à .
On fixe le point sur .
III.A - Représenter, sur un même dessin, et le triangle . Pour simplifier le dessin, on supposera que et sont deux ellipses, étant en entier à l'intérieur de .
III.B - On utilise maintenant le repère dont la base est ( ). Comme dans I.B.4), et sont associées dans le repère à deux matrices et .
III.B.1) Écrire les matrices et des coordonnées de et dans le repère .
III.B.2) Montrer que est de la forme , avec non nuls.
III.B.3) Montrer que est inversible. On pose .

Déduire de I.D.2) le troisième terme diagonal de .
Calculer aussi .
III.B.4) Montrer, en utilisant II.A.2), que .
III.B.5) Justifier que est de la forme et que a la propriété si et seulement si .
Montrer que .
III.C - Soit .
On l'écrit sous la forme et on lui associe le polynôme
; on note et les coefficients respectifs de et dans .
Exprimer, en développant et en fonction des termes de .
III.D - Dorénavant, on prend .
III.D.1) Calculer .
III.D.2)
a) Écrire dans un langage de calcul formel une fonction qui prend en argument les scalaires et qui retourne la valeur de .
b) On a . En déduire que si et seulement si .

III.E.1) Montrer que les matrices et sont semblables.
III.E.2) En déduire que ne dépend pas du choix de sur .
III.E.3) En déduire que s'il existe un point de ayant la propriété , alors tous les points de ont la propriété .
III.F - On pose .
III.F.1) Calculer en fonction de et de .
III.F.2) On note et les coefficients de et dans . Montrer que les points de ont la propriété si et seulement si .

Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère deux courbes et d'équations respectives et , où est un réel fixé positif.
IV.A - Préciser la nature de et .

Représenter et sur un même dessin, d'abord dans le cas , puis dans le cas .
Dans ce dernier cas, donner, par ses coordonnées, un exemple de point qui appartienne à tout en étant à l'intérieur de .
IV.B - On plonge dans l'espace, de sorte que le point de coordonnées ( ) de ait pour coordonnées ( ) dans .
IV.B.1) Soient et deux surfaces associées dans à deux matrices symétriques et .
Comment choisir ces deux matrices pour que ces surfaces coupent le plan suivant les courbes et (utiliser I.B.1))?
IV.B.2) Montrer que et sont inversibles puis, en utilisant I.C.2)c), que ni ni n'a trois valeurs propres de même signe.

IV.C.1)

Donner les coefficients et de et dans le polynôme .
IV.C.2) Montrer que est la seule valeur de telle que, par tout point de , on puisse mener deux tangentes à recoupant en et tels que la droite soit tangente à .
IV.C.3) Avec cette valeur de , représenter et une position quelconque du triangle .