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Centrale Mathématiques 1 PC 2008

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsEquations différentiellesSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Centrale
Année
2008
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2008PC MathsMaths 2008
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MATHÉMATIQUES I

Objectifs

On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu'elle est homogène, puis lorsque celle-ci admet un «second membre» d'un type particulier.
La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.

Notations

  • Pour tout couple :
  • si l'ensemble est noté ;
  • vaut 1 si sinon.
  • Si , on note l'ensemble constitué des éléments de de degré inférieur ou égal à et celui constitué des éléments de divisibles par .
  • Si est une application linéaire, et désignent respectivement son noyau et son image.
  • Si est un endomorphisme, par convention, est l'application identité, et pour tout entier naturel , on pose .
  • On considère un intervalle de contenant au moins deux éléments. On dira que l'intervalle est un voisinage de 0 s'il existe un réel tel que . On note le -espace vectoriel des applications de classe de dans son élément nul, l'application identité de et l'endomorphisme «dérivation» de , c'est-à-dire tel que : .
  • Pour tout de , et pour tout entier strictement positif, désigne la dérivée è de . Par convention .
  • Si et , on note le degré de et l'application de dans définie par: .

Filière PC

Partie I -

Soient et tel que .
I.A - Montrer que est un - espace vectoriel de dimension finie et préciser sa dimension.
I.B - Montrer qu'on peut définir une application de dans définie par :
Montrer que est linéaire et injective.
I.C - Déduire des questions précédentes que les images par de et sont des sous-espaces vectoriels de de dimensions finies que l'on précisera.
Dans la suite de ce problème, est un entier naturel non nul, un élément de tel que n'est pas nul, et on note ( ) l'équation différentielle, d'inconnue y élément de :

Partie II -

On se propose, dans cette partie, de déterminer , l'ensemble des solutions de ( ) définies sur . On admettra que .
II.A - Justifier que .
On note le nombre de racines distinctes du polynôme de ; on note ses racines et leurs ordres de multiplicité respectifs.
II.B - Vérifier que contient le sous-espace vectoriel de :
On admettra que cette somme est directe.
II.C - Dans cette question, et .
a) Soit un élément non nul de . Justifier l'existence d'un élément de tel que et .
b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier de :
c) En conclure que est un sous-espace vectoriel de de dimension au moins .
II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément de , on a l'équivalence suivante, si et seulement si il existe une famille d'éléments de telle que :
II.E - Dans le cas où est un voisinage de 0 , prouver que pour tout réel strictement positif tel que , les solutions de sont développables en série entière sur .

Partie III -

Dans cette partie, on considère un polynôme de , non nul. On note le degré du polynôme . On choisit un nombre complexe et on note l'ordre de multiplicité (éventuellement nul) de en tant que racine du polynôme de .
On se propose de résoudre l'équation différentielle, d'inconnue élément de , notée ( ) :
III.A - Vérifier qu'on peut définir une application , de dans , définie par
puis montrer que celle-ci est linéaire.
III.B - Prouver que est injective et que .
III.C - Démontrer qu'il existe un unique élément de tel que soit solution de , définie sur , puis préciser, en fonction de , l'ensemble des solutions de ( ) sur .
III.D - Dans le cas où l'intervalle est un voisinage de 0 , les solutions de ( ) sont-elles développables en série entière sur tout intervalle tel que ?

Partie IV -

On suppose, dans cette dernière partie, que vaut 1 et que :
On considère également un élément de et on note ( ) l'équation différentielle, d'inconnue élément de :
IV.A - Soit tel que et que ( ) admette une solution développable en série entière sur l'intervalle .
Montrer que est également développable en série entière sur l'intervalle . Qu'en est-il alors des autres solutions de ( ) ?
IV.B - Montrer que, si , alors il existe un unique élément de tel que:
Prouver qu'il existe un unique élément de tel que :
IV.C - Prouver que :
IV.D - Lorsque est un entier strictement positif, traduire sous forme matricielle le système linéaire précédent d'inconnue , élément de , puis écrire une procédure qui, en fonction de et du système , détermine l'unique solution de celui-ci.

IV.E -

a) Vérifier que: .
b) En déduire que, pour tout et pour tout entier , alors :
On suppose dorénavant que est une application de dans développable en série entière sur un intervalle inclus dans . On note le rayon de convergence de la série entière et on suppose que .

IV.F -

a) Montrer qu'il existe élément de , tel que la suite de fonctions définie par:
converge sur .
On note la limite de cette suite de fonctions, définie sur .
b) Prouver que est de classe sur .
IV.G - Justifier que est une solution de définie sur l'intervalle sur .
IV.H - Prouver que est de classe sur et que pour tout entier , on a:
IV.I - Si , on note sa partie entière.
On se propose, dans cette question, de démontrer que est développable en série entière sur . À cet effet, on introduit un élément de , puis, pour tout entier de , l'application de dans définie par:
a) Montrer que, si , est intégrable sur et préciser la valeur de son intégrale sur .
b) Exhiber une application en escalier de dans intégrable telle que :
c) Conclure.

IV.J -

a) Qu'en déduit-on pour les solutions de ( ) sur l'intervalle , ?
b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si n'est pas égal à 1 ?
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