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CCINP Mathématiques PC 2016

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementGéométrieNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètres
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CCINP
Année
2016
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2016PC MathsMaths 2016
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : -

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'épreuve est constituée d'un problème en cinq parties qui sont, dans une large mesure, indépendantes les unes des autres.
Lorsqu'un raisonnement utilise le résultat d'une question précédente, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

PROBLEME

Pour et , on note le polynôme si bien que :
On propose d'étudier quelques aspects géométriques, algébriques, probabilistes et analytiques de cette famille de polynômes appelés "polynômes de Bernstein".
Dans la partie 1, on considère des exemples de courbes dont le paramétrage fait intervenir des polynômes de Bernstein dans des cas simples. Dans la partie 2, on s'intéresse à deux endomorphismes et de dont les propriétés sont liées au fait que la famille des polynômes de Bernstein correspond à une base de . La loi binomiale permet de faire le lien avec l'endomorphisme dont on étudie en détail la restriction à . On étudie, dans la partie 3 , les aspects analytiques de pour une fonction définie sur avec défini sur le modèle de la partie 2. Par l'usage des probabilités, on obtient une démonstration "naturelle" de la convergence uniforme de vers sur sous l'hypothèse forte que est de classe sur . La partie 4 complète la partie 3 par l'étude d'intégrales impropres et d'intégrales à paramètres. La partie 5 aborde la question des séries de fonctions liées aux polynômes de Bernstein.
Les parties 1 et 5 sont indépendantes des autres parties. La partie 3 dépend seulement de la partie 2 et cela uniquement par la question 5 faisant intervenir les probabilités. La partie 4 dépend seulement de la partie 3 et uniquement par la question 11.d).

PARTIE 1. GEOMETRIE

On note et les trois éléments de définis par et .
On note l'ensemble défini par .
Pour , on remarque que et . On note alors :
et .
  1. Soit .
    1.a) Déterminer l'expression de et en fonction de .
    1.b) Déterminer les coordonnées de et vérifier que .
    1.c) Montrer que .
  2. Montrer que est une partie convexe de .
  3. Soit l'arc paramétré défini à partir de la fonction
    3.a) Justifier que tous les points de sont dans . .
    3.b) Pour , déterminer un vecteur directeur de la tangente à en .
    3.c) Montrer que, pour tout , le segment est inclus dans .
    3.d) Représenter dans un même repère orthonormé la courbe , la partie et les segments pour et .

PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES

Soit tel que . On note l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à . Pour un polynôme réel, on note le polynôme dérivé.
On note la famille de constituée des polynômes ( ).
Pour tout , on définit les polynômes et par :
4.
4.a) Montrer que et sont des endomorphismes de .
4.b) Vérifier que, pour tout .
4.c) En déduire que est une base de et que est diagonalisable.
4.d) Montrer que n'est pas bijectif et que est bijectif.
5. Soit et . On considère un espace probabilisé ( ) et une variable aléatoire sur ( ) qui suit la loi binomiale . On note .
Pour une variable aléatoire discrète sur ( ), on note, sous réserve d'existence, l'espérance de et la variance de .
On rappelle que si et est une fonction à valeurs réelles définie sur , alors admet une espérance et .
5.a) Donner un exemple de situation probabiliste qui peut être décrite par une variable aléatoire qui suit la loi binomiale .
5.b) Donner et justifier que, pour tout , on a : .
5.c) Donner l'expression simplifiée des quantités suivantes:
vérifier en particulier que .
5.d) En déduire que les égalités suivantes sont valables pour tout :
5.e) Montrer que les trois égalités précédentes sont encore valables pour tout .
6. Montrer que est un sous-espace vectoriel de qui est stable par .
On note l'endomorphisme de induit par ; on rappelle que dans ce cas, pour tout . On note la matrice de dans la base canonique de .
On note l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 3 .
On note aussi et .
7. Montrer que .
8.
8.a) La matrice est-elle diagonalisable ?
8.b) Soit et deux réels et . Justifier que est inversible.
8.c) Déterminer (sans chercher à calculer ) deux réels et tels que .
9. On suppose dans toute la fin de cette partie que les réels et ont été choisis de telle sorte que pour .
On munit d'une norme quelconque. Si une suite de matrices de , notée , converge vers une matrice , on note . On admet alors que si et seulement si pour tout , on a : .
9.a) Montrer que .
9.b) Montrer que l'application définie sur par est linéaire.
9.c) En déduire que si , alors .
9.d) Montrer que .
9.e) Déterminer explicitement, pour .
9.f) Déterminer explicitement .

PARTIE 3. ANALYSE ET PROBABILITES

Soit . Pour une fonction définie sur à valeurs dans , pour tout , on note :
On reprend les notations de la question 5 avec . On remarque que dans ce cas, pour tout , on a :
On pourra utiliser sans démonstration les résultats de cette question 5.
10.
10.a) Montrer que pour toute variable aléatoire discrète admettant une variance, on a l'inégalité suivante : .
10.b) En déduire que, pour tout .
11. On suppose dans toute cette question que est une fonction de classe sur .
11.a) Justifier l'existence d'un réel tel que : .
Dans toute la suite de cette question, on suppose que est un réel choisi de telle sorte que :
11.b) Montrer que, pour tout .
11.c) En déduire que, pour tout .
11.d) Montrer que converge uniformément vers sur .

PARTIE 4. INTEGRALES

Soit une fonction de classe sur .
On reprend les notations de la partie 3 pour . On pourra utiliser sans démonstration le résultat de la question 11.d).
12. Montrer que .
13. On note .
13.a) Montrer que, pour tout et .
13.b) En déduire que, pour tout et tout , le réel est indépendant de l'entier et que .
13.c) En déduire que .
14. Montrer que le résultat de la question 13.c) reste vrai pour la seule hypothèse que est continue sur .
15. Soit tels que .
15.a) Montrer que, pour tout , l'intégrale est convergente.
15.b) Montrer que, pour , la fonction d est de classe sur .
15.c) Montrer que la fonction est une fonction de classe qui est strictement croissante et bijective.
15.d) En utilisant le changement de variable , calculer ; en déduire la valeur de .

PARTIE 5. SERIES DE FONCTIONS

Soit . Pour et , on note :
  1. Montrer que quand tend vers et en déduire, pour tout , un équivalent de quand tend vers .
  2. Etablir que converge simplement sur .
Pour , on note .
18. Déterminer pour et pour .
19.
19.a) Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction .
19.b) En déduire que, pour tout .
19.c) Montrer que, pour tout .
19.d) La série converge-t-elle normalement sur ?

Fin de l'énoncé

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