CCINP Mathématiques PC 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2016 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales CCINP PC Mathématiques CCINP PC 2016 PC Mathématiques Mathématiques 2016

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Corrigé 3

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Les polynômes de Bernstein : aspects géométriques, algébriques, probabilistes et analytiques

Le problème étudie la famille des polynômes de Bernstein sous plusieurs angles. Il part d'exemples géométriques simples de courbes paramétrées, introduit deux endomorphismes liés à la base de Bernstein de R_n[X], utilise la loi binomiale pour approcher une fonction continue par ces polynômes, puis prolonge l'étude par des intégrales à paramètre et une série de fonctions associée.

1Partie 1 : géométriepremière annéeÉtude de courbes paramétrées construites à partir des polynômes de Bernstein d'ordre 1 et 2 et d'une partie convexe triangulaire.
2Partie 2 : algèbre linéaire et probabilitésÉtude de deux endomorphismes de R_n[X] liés à la base de Bernstein, diagonalisation et limite d'une matrice construite avec la loi binomiale.
3Partie 3 : analyse et probabilitésDémonstration probabiliste de la convergence uniforme de B_n(f) vers f sur [0,1] pour f de classe C1.
4Partie 4 : intégralesÉtude d'intégrales impropres et d'intégrales à paramètre liées aux polynômes de Bernstein, lien avec les sommes de Riemann.
5Partie 5 : séries de fonctionsÉtude d'une série de fonctions construite à partir des polynômes de Bernstein, convergence simple et normale.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la difficulté des questions se voulait progressive, avec de nombreuses applications directes du cours et des questions ouvertes non bloquantes, et que l'épreuve a été mieux réussie que la précédente.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Définitions et hypothèses de théorèmes négligées · Calculs malhonnêtes quand le résultat est donné · Théorème de concaténation de familles propres mal maîtrisé

Les correcteurs jugent l'épreuve mieux réussie que la précédente, avec une présentation écrite très bonne en règle générale et une compétence de modélisation probabiliste en nette amélioration. Ils relèvent cependant une maîtrise très insuffisante du socle des connaissances, des calculs menés sans recul et des tentatives de bluffer le correcteur sur des résultats donnés par l'énoncé.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Définitions et hypothèses de théorèmes négligées
Les définitions moins courantes sont souvent oubliées et les hypothèses de la plupart des théorèmes sont négligées.
« les définitions moins courantes sont souvent oubliées et les hypothèses de la plupart des théorèmes sont négligées »
2
Calculs malhonnêtes quand le résultat est donnéQ4.b
Quand le résultat d'une question est fourni par l'énoncé, les candidats doivent détailler particulièrement bien leurs calculs, ce qui n'est pas toujours le cas.
3
Théorème de concaténation de familles propres mal maîtriséQ4.c
Très peu de candidats comprennent que la liberté de la famille des p_k,n résulte du théorème de concaténation de familles de vecteurs propres associées à des valeurs propres distinctes.
4
Norme infinie omise dans la convergence uniformeQ11.d
Beaucoup de copies ne mentionnent pas la norme infinie et confondent donc convergence simple et convergence uniforme.
5
Lien avec les sommes de Riemann non établiQ14
Le lien avec les sommes de Riemann est très rarement évoqué et presque jamais correctement établi.
6
Rayon de convergence de la série entière ignoréQ19.b
Presque personne ne parle du rayon de convergence de la série entière, ce qui rend la dérivation terme à terme injustifiée.

Ce qui a été bien réussi

Les questions 1.a, b et c sont très bien réussies.
La diagonalisabilité de phi_n est bien comprise en question 4.c.
Les questions 8.b, c, 9.a et b sont très bien réussies.
La question 13.a est très bien réussie.

Conseils du jury

Revoir précisément les définitions et les hypothèses des théorèmes, y compris les moins courants.
Détailler soigneusement les calculs lorsque le résultat final est donné par l'énoncé, pour éviter tout soupçon de calcul malhonnête.
Bien distinguer convergence simple, uniforme et normale en mentionnant explicitement la norme utilisée.
Prendre du recul avant de se lancer dans des calculs, certains résultats s'obtenant avec beaucoup plus de concision.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : $14h$ - $18h$

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'épreuve est constituée d'un problème en cinq parties qui sont, dans une large mesure, indépendantes les unes des autres.

Lorsqu'un raisonnement utilise le résultat d'une question précédente, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

PROBLEME

Pour

n \in ℕ

k \in [ [0, n] ]

, on note

p_(k, n)(X)

le polynôme

(n/k)X^k(1 - X)^(n - k)

si bien que :

\forallt \in ℝ, p_(k, n)(t) = (n/k)t^k(1 - t)^(n - k) = (n!)/(k!(n - k)!)t^k(1 - t)^(n - k).

On propose d'étudier quelques aspects géométriques, algébriques, probabilistes et analytiques de cette famille de polynômes appelés "polynômes de Bernstein".

Dans la partie 1, on considère des exemples de courbes dont le paramétrage fait intervenir des polynômes de Bernstein dans des cas simples. Dans la partie 2, on s'intéresse à deux endomorphismes

φ_n

B_n

ℝ_n[X]

dont les propriétés sont liées au fait que la famille des polynômes de Bernstein correspond à une base de

ℝ_n[X]

. La loi binomiale permet de faire le lien avec l'endomorphisme

B_n

dont on étudie en détail la restriction à

ℝ_2[X]

. On étudie, dans la partie 3 , les aspects analytiques de

B_n(f)

pour une fonction

f

définie sur

[0, 1]

avec

B_n

défini sur le modèle de la partie 2. Par l'usage des probabilités, on obtient une démonstration "naturelle" de la convergence uniforme de

B_n(f)

vers

f

sur

[0, 1]

sous l'hypothèse forte que

f

est de classe

𝒞^1

sur

[0, 1]

. La partie 4 complète la partie 3 par l'étude d'intégrales impropres et d'intégrales à paramètres. La partie 5 aborde la question des séries de fonctions liées aux polynômes de Bernstein.

Les parties 1 et 5 sont indépendantes des autres parties. La partie 3 dépend seulement de la partie 2 et cela uniquement par la question 5 faisant intervenir les probabilités. La partie 4 dépend seulement de la partie 3 et uniquement par la question 11.d).

PARTIE 1. GEOMETRIE

On note

A_0, A_1

A_2

les trois éléments de

ℝ^2

définis par

A_0 = (0, 1), A_1 = (1, 1)

A_2 = (1, 0)

.
On note

T

l'ensemble défini par

T = {(x, y) ∈ [0, 1]^2|x + y ⩾ 1}

.
Pour

t \in [0, 1]

, on remarque que

p_(0, 1)(t) = 1 - t

p_(1, 1)(t) = t

. On note alors :

A(t) = p_(0, 1)(t)A_0 + p_(1, 1)(t)A_1, B(t) = p_(0, 1)(t)A_1 + p_(1, 1)(t)A_2

C(t) = p_(0, 1)(t)A(t) + p_(1, 1)(t)B(t)

Soit $t \in [0, 1]$ .
1.a) Déterminer l'expression de $p_(0, 2)(t), p_(1, 2)(t)$ et $p_(2, 2)(t)$ en fonction de $t$ .
1.b) Déterminer les coordonnées de $A(t), B(t)$ et vérifier que $C(t) = (2t - t^2, 1 - t^2)$ .
1.c) Montrer que $C(t) = \sum_(k = 0)^2 p_(k, 2)(t)A_k$ .
Montrer que $T$ est une partie convexe de $ℝ^2$ .
Soit $𝒞$ l'arc paramétré défini à partir de la fonction $f : t ⟼ C(t)$
3.a) Justifier que tous les points de $𝒞$ sont dans $T$ . $[0, 1] ⟶ ℝ^2$ .
3.b) Pour $t \in [0, 1]$ , déterminer un vecteur directeur de la tangente $𝒟_t$ à $𝒞$ en $C(t)$ .
3.c) Montrer que, pour tout $t \in [0, 1]$ , le segment $[A(t), B(t)]$ est inclus dans $𝒟_t$ .
3.d) Représenter dans un même repère orthonormé la courbe $𝒞$ , la partie $T$ et les segments $[A(t), B(t)]$ pour $t = 0, t = 1/2$ et $t = 1$ .

PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES

Soit

n \in ℕ

tel que

n ⩾ 2

. On note

ℝ_n[X]

l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à

n

. Pour

P(X)

un polynôme réel, on note

P^'(X)

le polynôme dérivé.

On note

ℱ

la famille de

ℝ_n[X]

constituée des polynômes (

p_(0, n)(X), p_(1, n)(X), \dots, p_(n, n)(X)

).
Pour tout

P \in ℝ_n[X]

, on définit les polynômes

φ_n(P)

B_n(P)

par :
4.

φ_n(P)(X) = nXP(X) + X(1 - X)P^'(X); et; B_n(P)(X) = \sum_(k = 0)^n P(k/n)p_(k, n)(X)

4.a) Montrer que

φ_n

B_n

sont des endomorphismes de

ℝ_n[X]

.
4.b) Vérifier que, pour tout

k \in [ [0, n] ], φ_n(p_(k, n))(X) = kp_(k, n)(X)

.
4.c) En déduire que

ℱ

est une base de

ℝ_n[X]

et que

φ_n

est diagonalisable.
4.d) Montrer que

φ_n

n'est pas bijectif et que

B_n

est bijectif.
5. Soit

r \in ℕ^*

t \in [0, 1]

. On considère un espace probabilisé (

Ω, 𝒜, P

) et

T_r

une variable aléatoire sur (

Ω, 𝒜, P

) qui suit la loi binomiale

ℬ(r, t)

. On note

T¯_r = T_r/r

Pour

Y

une variable aléatoire discrète sur (

Ω, 𝒜, P

), on note, sous réserve d'existence,

E(Y)

l'espérance de

Y

V(Y)

la variance de

Y

On rappelle que si

Y(Ω) \subset [ [0, r] ]

h

est une fonction à valeurs réelles définie sur

[ [0, r] ]

, alors

h(Y)

admet une espérance et

E(h(Y)) = \sum_(k = 0)^r h(k)P(Y = k)

.
5.a) Donner un exemple de situation probabiliste qui peut être décrite par une variable aléatoire qui suit la loi binomiale

ℬ(r, t)

.
5.b) Donner

T_r(Ω)

et justifier que, pour tout

k \in [ [0, r] ]

, on a :

P(T_r = k) = p_(k, r)(t)

.
5.c) Donner l'expression simplifiée des quantités suivantes:

E(T_r), E(T¯_r), V(T_r), V(T¯_r), E(T_r^2) et E((T¯_r)^2);

vérifier en particulier que

E((T¯_r)^2) = t/r + (t^2)/r(r - 1)

.
5.d) En déduire que les égalités suivantes sont valables pour tout

t \in [0, 1]

\sum_(k = 0)^r p_(k, r)(t) = 1, \sum_(k = 0)^r k/rp_(k, r)(t) = t et \sum_(k = 0)^r(k/r)^2 p_(k, r)(t) = (1 - 1/r)t^2 + 1/rt

5.e) Montrer que les trois égalités précédentes sont encore valables pour tout

t \in ℝ

.
6. Montrer que

ℝ_2[X]

est un sous-espace vectoriel de

ℝ_n[X]

qui est stable par

B_n

On note

B~_n

l'endomorphisme de

ℝ_2[X]

induit par

B_n

; on rappelle que dans ce cas, pour tout

P \in ℝ_2[X], B~_n(P) = B_n(P)

. On note

A_n

la matrice de

B~_n

dans la base canonique de

ℝ_2[X]

On note

ℳ_3(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 3 .
On note aussi

I_3 = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1), H = (1, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 0), D = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 0)

D_n = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1 - 1/n)

.
7. Montrer que

A_n = (1, 0, 0; 0, 1, 1/n; 0, 0, 1 - 1/n) = (1 - 1/n)I_3 + 1/nH

.
8.
8.a) La matrice

H

est-elle diagonalisable ?
8.b) Soit

a

b

deux réels et

Q = (1, 0, a; 0, 1, b; 0, 0, 1)

. Justifier que

Q

est inversible.
8.c) Déterminer (sans chercher à calculer

Q^(- 1)

) deux réels

a

b

tels que

H = QDQ^(- 1)

.
9. On suppose dans toute la fin de cette partie que les réels

a

b

ont été choisis de telle sorte que

H = QDQ^(- 1)

pour

Q = (1, 0, a; 0, 1, b; 0, 0, 1)

.
On munit

ℳ_3(ℝ)

d'une norme quelconque. Si une suite de matrices de

ℳ_3(ℝ)

, notée

(M_ℓ)

, converge vers une matrice

M

, on note

lim_(ℓ \to + \infty)(M_ℓ) = M

. On admet alors que

lim_(ℓ \to + \infty)(M_ℓ) = M

si et seulement si pour tout

(i, j) \in [ [1, 3] ]^2

, on a :

lim_(ℓ \to + \infty)(M_ℓ)_(i, j) = M_(i, j)

.
9.a) Montrer que

lim_(n \to + \infty)(A_n) = I_3

.
9.b) Montrer que l'application

ψ

définie sur

ℳ_3(ℝ)

par

ψ(M) = QMQ^(- 1)

est linéaire.
9.c) En déduire que si

lim_(ℓ \to + \infty)(M_ℓ) = M

, alors

lim_(ℓ \to + \infty)(QM_ℓ Q^(- 1)) = QMQ^(- 1)

.
9.d) Montrer que

A_n = QD_n Q^(- 1)

.
9.e) Déterminer explicitement, pour

n ⩾ 2, lim_(ℓ \to + \infty)(A_n^ℓ)

.
9.f) Déterminer explicitement

lim_(n \to + \infty)(A_n^n)

PARTIE 3. ANALYSE ET PROBABILITES

Soit

n \in ℕ^*

. Pour

f

une fonction définie sur

[0, 1]

à valeurs dans

ℝ

, pour tout

x \in ℝ

, on note :

B_n(f)(x) = \sum_(k = 0)^n f(k/n)p_(k, n)(x).

On reprend les notations de la question 5 avec

r = n

. On remarque que dans ce cas, pour tout

t \in [0, 1]

, on a :

f(t) - B_n(f)(t) = E(f(t) - f(T¯_n)) = \sum_(k = 0)^n(f(t) - f(k/n))p_(k, n)(t).

On pourra utiliser sans démonstration les résultats de cette question 5.
10.
10.a) Montrer que pour toute variable aléatoire discrète

Y

admettant une variance, on a l'inégalité suivante :

E(Y) ⩽ \sqrt(E(Y^2))

.
10.b) En déduire que, pour tout

t \in [0, 1], E(|t - T¯_n|) ⩽ \sqrt((t(1 - t))/n)

.
11. On suppose dans toute cette question que

f

est une fonction de classe

𝒞^1

sur

[0, 1]

.
11.a) Justifier l'existence d'un réel

M_f

tel que :

\forall(a, b) \in [0, 1]^2, |f(a) - f(b)| ⩽ M_f|a - b|

Dans toute la suite de cette question, on suppose que

M_f

est un réel choisi de telle sorte que :

\forall(a, b) \in [0, 1]^2, |f(a) - f(b)| ⩽ M_f|a - b|.

11.b) Montrer que, pour tout

t \in [0, 1], E(|f(t) - f(T¯_n)|) ⩽ M_f\sqrt((t(1 - t))/n)

.
11.c) En déduire que, pour tout

t \in [0, 1], |f(t) - B_n(f)(t)| ⩽ (M_f)/(2\sqrtn)

.
11.d) Montrer que

(B_n(f))_(n \in ℕ^*)

converge uniformément vers

f

sur

[0, 1]

PARTIE 4. INTEGRALES

Soit

f

une fonction de classe

𝒞^1

sur

[0, 1]

.
On reprend les notations de la partie 3 pour

B_n(f)

. On pourra utiliser sans démonstration le résultat de la question 11.d).
12. Montrer que

lim_(n \to + \infty)(\int_0^1 B_n(f)(x)dx) = \int_0^1 f(x)dx

.
13. On note

S_n(f) = 1/(n + 1)\sum_(k = 0)^n f(k/n)

.
13.a) Montrer que, pour tout

a \in ℕ^*

b \in ℕ, \int_0^1 x^a(1 - x)^b dx = a/(b + 1)\int_0^1 x^(a - 1)(1 - x)^(b + 1) dx

.
13.b) En déduire que, pour tout

n \in ℕ

et tout

k \in [ [0, n] ]

, le réel

\int_0^1 p_(k, n)(x)dx

est indépendant de l'entier

k

et que

\int_0^1 p_(k, n)(x)dx = 1/((n + 1))

.
13.c) En déduire que

lim_(n \to + \infty)S_n(f) = \int_0^1 f(x)dx

.
14. Montrer que le résultat de la question 13.c) reste vrai pour la seule hypothèse que

f

est continue sur

[0, 1]

.
15. Soit

(a, b, c) \in ℕ^3

tels que

a + b ⩽ c - 2

.
15.a) Montrer que, pour tout

x \in [0, 1]

, l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(u^a(1 + xu)^b)/((1 + u)^c) du

est convergente.
15.b) Montrer que, pour

b ⩾ 1

, la fonction

F : x \mapsto \int_0^(+ \infty)(u^a(1 + xu)^b)/((1 + u)^c)

u

est de classe

𝒞^1

sur

[0, 1]

.
15.c) Montrer que la fonction

h : t ⟼ t/(1 - t)

est une fonction de classe

𝒞^1

qui est

[0, 1] ⟶ [0, + \infty[

strictement croissante et bijective.
15.d) En utilisant le changement de variable

u = t/(1 - t)

, calculer

F(0)

; en déduire la valeur de

F(1)

PARTIE 5. SERIES DE FONCTIONS

Soit

k \in ℕ^*

. Pour

n \in ℕ

t \in [0, 1]

, on note :

f_n(t) = {p_(k, n)(t), si n ⩾ k,; 0, si n < k, si bien que f_n(t) = {(n/k)t^k(1 − t)^(n − k), si n ⩾ k; 0, si n < k

Montrer que $(n/k) \sim (n^k)/(k!)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et en déduire, pour tout $t \in ]0, 1[$ , un équivalent de $f_n(t)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .
Etablir que $\sumf_n$ converge simplement sur $[0, 1]$ .

Pour

t \in [0, 1]

, on note

S(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f_n(t)

.
18. Déterminer

S(t)

pour

t = 0

et pour

t = 1

.
19.
19.a) Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction

u \mapsto 1/(1 - u)

.
19.b) En déduire que, pour tout

u \in [0, 1[, \sum_(n = k)^(+ \infty)n(n - 1)\dots(n - k + 1)u^(n - k) = (k!)/((1 - u)^(k + 1))

.
19.c) Montrer que, pour tout

t \in ]0, 1], S(t) = 1/t

.
19.d) La série

\sumf_n

converge-t-elle normalement sur

[0, 1]

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PC CCINP 2016 ?

Le sujet porte sur les polynômes de Bernstein : courbes paramétrées, réduction des endomorphismes, variables aléatoires et loi binomiale, suites et séries de fonctions, intégrales à paramètre et séries entières.

Le sujet de maths PC CCINP 2016 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme progressif, avec de nombreuses applications directes du cours et des questions ouvertes non bloquantes, mieux réussi que l'épreuve de l'année précédente.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths CCINP PC ?

Le jury relève une maîtrise insuffisante des définitions et hypothèses de théorèmes, des calculs menés sans recul, et des confusions entre convergence simple, uniforme et normale.

Les probabilités sont-elles importantes dans ce sujet CCINP PC maths 2016 ?

Oui, la loi binomiale intervient dans les parties 2 et 3 pour construire une démonstration probabiliste de la convergence uniforme des polynômes de Bernstein vers une fonction continue.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques PC 2016

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : 14h - 18h

Les calculatrices sont interdites

PROBLEME

PARTIE 1. GEOMETRIE

PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES

PARTIE 3. ANALYSE ET PROBABILITES

PARTIE 4. INTEGRALES

PARTIE 5. SERIES DE FONCTIONS

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PC CCINP 2016 ?

Le sujet de maths PC CCINP 2016 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths CCINP PC ?

Les probabilités sont-elles importantes dans ce sujet CCINP PC maths 2016 ?

Commentaires• CCINP Mathématiques PC 2016

Commentaires• CCINP Mathématiques PC 2016

Mardi 3 mai : $14h$ - $18h$