NB. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Remettre à chaque candidat une feuille de papier millimétré

Problème 1

On considère l'espace vectoriel

des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à deux.

appartient à E , on désigne par

son polynôme dérivé.

Soit

Montrer que est un produit scalaire sur .
Soit la base canonique de .

Vérifier que

est une base orthogonale de

.
Donner une base orthonormée

.
3) On considère la matrice

é

Soit u un endomorphisme de E et soit A sa matrice dans la base canonique de E. Montrer l'équivalence des deux propriétés :
a)
b)
On note , l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.

Montrer que

est un groupe pour la multiplication des matrices carrées.
6) Soit v l'application qui à tout polynôme P de E associe

tel que pour tout x réel,

.
a) Démontrer que v est un endomorphisme de E.
b) Calculer la matrice de v dans la base canonique de E .
c) Est-ce que v vérifie la propriété définie dans la question 4) ?
d) Montrer que v est bijectif et préciser

.
7) Soit

a) Montrer que

sont deux endomorphismes de E.
b) Calculer leurs matrices dans la base canonique de E.
c) Déterminer

; conclusion ?
d) En déduire une solution particulière et la solution générale de l'équation différentielle

8) On considère l'endomorphisme r de E qui a pour matrice dans la base orthonormée

de E :

L'espace E est orienté de telle façon que la base orthonormée

soit directe.
a) Montrer que A est une matrice orthogonale
b) Rechercher les vecteurs invariants par r.
c) En déduire que r est une rotation dont on précisera l'axe et l'angle en ayant choisi une orientation de l'axe.

Problème 2

Le plan

est muni d'un repère orthonormé

Étude complète de l'arc paramétré (C) :
Soit ( ) la courbe d'équation cartésienne dans le repère :
a) Quelle est la nature de ( ) ?
b) Vérifier que
c) En déduire que , A et B étant deux points symétriques par rapport à l'axe x'Ox dont on donnera les coordonnées ; A sera celui d'ordonnée positive.
d) Montrer que les deux courbes (C) et ( ) ont même tangente en A, tangente dont on donnera le point d'intersection F avec . Soit (T) cette tangente.
e) Soit (N) la normale commune à (C) et ( ) en A; montrer que où D est un point dont on donnera les coordonnées et que est tangente à en D .
f) Calculer les coordonnées du deuxième point d'intersection E de ( N ) et de ( ).
Sur la feuille de papier millimétré, dessiner avec soin les courbes (C) et ( ) :

On prendra pour unité de base :

en abscisses et en ordonnées, et on mettra l’origine sur le bord gauche de la feuille.

On tracera (T) et (N) et on placera les points A, B, D, E, F.