CCINP Mathématiques 2 TSI 2001

Durée : 3 heures

Il est rappelé aux candidats qu'il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction des copies.

On appelle base canonique de la base ( ) où .
Si un élément de vérifie (respectivement ) pour tout , on note (respectivement ). Si est un élément de signifie , et de même signifie .

On désigne par le -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels, et par le -espace vectoriel des applications linéaires de dans .

Si est un élément de , on note si est le coefficient de la -ème ligne et de la -ème colonne de .

On note la matrice unité de et l'application identité de .

Si est un élément de et l'élément de admettant comme matrice dans la base canonique de , pour tout élément de , on note parfois au lieu de l'image de par , avec , pour tout .

On dit que , un élément de , est à termes positifs (respectivement strictement positifs) si (respectivement ) pour tout . On note alors (respectivement ).

I 1 Dans ou , donner un exemple de matrice telle que ni ni ne soient à termes positifs, et pour laquelle il existe un vecteur tel que ni ni ne soient positifs.

On se place maintenant en dimension quelconque.
Soit un élément de .
I 2 Montrer que est à termes positifs si et seulement si, pour tout élément de tel que , on a .

I 3 Montrer que est à termes strictement positifs si et seulement si, pour tout élément de tel que et , on a .

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I 4.1 Montrer que tout vecteur est limite d'une suite de vecteurs strictement positifs de .
I 4.2 Montrer réciproquement que si est limite d'une suite de vecteurs strictement positifs de , on a .

I 4.3 Montrer que si, pour tout élément de tel que , on a , alors cst à termes positifs. La matrice est-elle nécessairement à termes strictement positifs ?

I 5 Soient trois nombres réels , et la matrice (en dimension 3 de nouveau)

I5.1 Montrer que est valeur propre de , et trouver un vecteur propre associé.
I 5.2 Montrer que le sous-espace propre associé à est une droite vectorielle.
15.3 Montrer que si est une valeur propre de autre que , alors et .

Soit une matrice inversible, à termes strictement positifs et symétrique, de valeurs propres réelles distinctes ou non rangées par ordre décroissant des valeurs absolues:

On admettra que :
i) est positive et simple : on note et ;
ii) les vecteurs propres associés à sont tous colinéaires à un vecteur : quitte à multiplier par un scalaire positif, on suppose en outre que , où . .

On note le produit scalaire associé à la norme.

II 1 Soit la matrice de la projection orthogonale sur la droite engendrée par dans la base canonique de , et . Montrer que, pour tout élément de , on a les relations suivantes :

II 1.1

II 2 On pose , élément de , et on définit la suite de vecteurs de par la relation de récurrence

(Il résulte de l'inversibilité de que si , de sorte que cette définition a bien un sens.)
II 2.1 Vérifier que, si , alors pour tout .
On suppose dans la suite de la question II.2.
II 2.2 Montrer que et pour tout .

II 2.3 Prouver que pour tout et que

En déduire que la suite est croissante et convergente, puis que

II 2.4 Vérifier que, pour tout ,

En déduire que .

II 2.5 Prouver les identités

pour tout .

II 3 A partir des résultats précédents, proposer un algorithme itératif de calcul approché de et de .
En supposant disponibles les routines de calcul effectuant un produit matrice vecteur et calculant la norme d'un vecteur, on décrira l'initialisation de l'algorithme proposé, le contenu d'une boucle d'itération et la procédure d'arrêt des itérations. On demande de justifier les choix effectués, notamment dans la procédure d'arrêt. En revanche, la description des programmes (organigramme, déclaration des variables, etc) est hors-sujet.