Préliminaires: soit une application de dans , continue, de période .
1.1. Exprimer en fonction des coefficients de Fourier et de l'application , si . Exprimer de même en fonction de et , si . Exprimer enfin en fonction de .
1.2. Prouver que la convergence absolue des séries et est équivalente à la convergence absolue des séries et .
1.3. Montrer que la série de Fourier de peut s'écrire sous la forme:

On suppose dans cette question que est nul et que est réel.
2.1. Pour quelles valeurs de l'équation admet-elle des solutions non nulles dont est une période?
2.2. Pour quelles valeurs de l'équation admet-elle des solutions réelles non nulles?
Soit une application de période , indéfiniment dérivable de dans , et sa dérivée -ème, avec par convention .
3.1. Exprimer en fonction de , pour tout entier de (on pourra utiliser une intégration par parties).
3.2. En déduire une relation entre et pour tout .
3.3. Dans le cas où est à valeurs réelles, montrer que pour tout entier strictement positif, et sont négligeables devant , quand l'entier naturel tend vers l'infini.
3.4. Dans le cas où est à valeurs réelles, justifier pour tout réel et tout entier naturel la convergence absolue, et donner la somme des séries:

Vérifier que l'on peut passer de la série de

à la série de

par dérivation terme à terme.
4. On suppose dans cette question que

.
4.1. Prouver que toute solution de

est indéfiniment dérivable.
4.2. Prouver que toute solution réelle de

, de période

, est développable en série de Fourier, ainsi que ses dérivées successives.
4.3. Exprimer les coefficients

de l'application

en fonction des coefficients

pour tout entier

.
4.4. Montrer que les coefficients

d'une solution

, de période

, vérifient:

On suppose dans cette question et la suivante que , et que est une solution indéfiniment dérivable et de période de .
5.1. Exprimer en fonction de pour . Si est nul, calculer pour . Si n'est pas nul, prouver qu'alors la série n'est pas absolument convergente.
5.2. Prouver que: .
5.3. Prouver que: .
On définit une suite complexe par et pour tout entier strictement positif, , et on définit une fonction , de dans , par .
6.1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
6.2. Prouver la convergence de la série , et, pour tout réel, la convergence absolue de la série .
6.3. En admettant que est de classe sur , et que l'on peut dériver deux fois sa série terme à terme pour trouver , vérifier que est une solution non nulle, de période , de l'équation différentielle .
ALGORITHMIQUE: Préciser, au début de cette partie, le logiciel de calcul formel que vous avez étudié, et utiliser son langage de programmation pour traiter la question ci-dessous:

Ecrire un algorithme (ou une procédure, ou un programme) qui,
en fonction a) d'un complexe

non nul,
b) d'un entier

,
c) d'un réel

,
calcule a) le plus petit entier

tel que

est défini en question 6

,
b) la fonction somme partielle correspondante

,
c) une valeur numérique approchée de