CCINP Mathématiques 1 PSI 2000

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire 99-018 du 01.02.99.

Dans la partie I, on étudie les solutions d'une équation différentielle

solutions vérifiant en outre des conditions aux limites.
Dans la partie II, on introduit une fonction de deux variables, fonction qui est définie comme somme d'une série.

Dans la partie III, à chaque fonction continue impaire -périodique sur , on associe une fonction grâce à la relation

et on étudie quelques propriétés de la fonction ainsi obtenue.

Lorsque , on désigne par le -espace vectoriel des applications de classe de dans .
Lorsque et on considère l'équation différentielle :

On désigne par :

I.1/ On suppose, dans cette question, que est la fonction nulle.
I.1.1/ Déterminer l'ensemble lorsque .
I.1.2/ Déterminer l'ensemble (selon la valeur de )
I.1.2.1/ lorsque ,
I.1.2.2/ lorsque .
I.2./ On suppose, dans cette question, que .
I.2.1/ Déterminer l'ensemble
I.2.1.1/ lorsque ,
I.2.1.2/ lorsque (où désigne un entier naturel non nul fixé).
I.2.2/ On suppose que .
I.2.2.1/Déterminer l'ensemble .
I.2.2.2/ Montrer que contient un seul élément, (seule fonction de classe sur telle que pour tout et ); expliciter et indiquer l'allure de son graphe.
I.3/ On suppose toujours que et on désigne par une fonction quelconque appartenant à .
Montrer que si et seulement si il existe tel que pour tout on ait :

En déduire que pour tout l'ensemble contient un seul élément que l'on notera .

Dans toute la suite de cette partie, on désigne par l'application de dans lui même qui à associe l'élément , unique solution sur l'intervalle de l'équation différentielle :

I.4/ Vérifier que est un endomorphisme de .
I.5/ L'endomorphisme est-il injectif ? surjectif ?
I.6/ Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme .
I.7/ Pour tout on désigne par l'ensemble des couples tels que .
I.7.1/ Représenter l'ensemble dans le plan euclidien pour un fixé, ( ).
I.7.2/ Justifier les égalités suivantes, pour et :

I.7.3/ Soient et .
I.7.3.1/ Montrer qu'il existe ( que l'on explicitera) tel que pour tout on ait l'égalité : .
I.7.3.2/ En déduire qu'il existe ( que l'on explicitera) tel que pour tout on ait l'égalité : .

Pour on note , lorsque la série converge.
II.1/ Montrer que la fonction est définie sur .
II.2/ Soit un réel fixé, étudier la continuité de l'application .
II.3/ Développement en série de Fourier d'une fonction .

On considère un nombre réel fixé, et on désigne par l'application de dans -périodique et impaire, définie sur par:

II.3.1/ Indiquer l'allure du graphe de sur l'intervalle (pour un fixé, ) ; justifier la convergence de la série de Fourier réelle de et préciser sa somme.
(Rappel : la série de Fourier réelle de est :
où et
sont les coefficients de Fourier réels de ).
II.3.2/ Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction .
II.3.3/ Exprimer en fonction de pour et .
II.4/ On considère les sous-ensembles suivants de :
le carré ensemble des couples ,
le triangle ensemble des couples tels que ,
le triangle ensemble des couples tels que .
II.4.1/ Déduire de II.3.3 l'existence d'un minimum et d'un maximum pour la fonction sur le carré et préciser la valeur du minimum.
II.4.2/ La fonction possède-t-elle un maximum relatif sur le triangle ?
II.4.3/ Etudier les extremums de la fonction sur l'ensemble (bords du triangle de ).
II.4.4/ En déduire la valeur du maximum de sur le carré .
II.4.5/ Si on note l'ensemble des tels que , ( est la ligne de niveau ).
Représenter (sur un même croquis) l'ensemble C, et la ligne passant par le point .

Dans cette partie on désigne par:

A toute fonction appartenant à on associe la fonction définie sur par

III.1/ Vérifier que si et si alors la fonction est impaire, -périodique. Justifier l'égalité

III.2/ Déduire de II.3.3 et de la partie I que si alors les fonctions et sont proportionnelles sur ; en déduire que est de classe sur , et qu'elle vérifie les relations :

III.3/ En utilisant (en particulier) l'imparité de et de , montrer que est de classe sur .

Dans toute la suite de cette partie, pour chaque application -périodique, continue par morceaux de dans , on désigne par et les coefficients de Fourier réels de : pour tout .
Soient désormais et .
III.4/ Etablir une relation entre et pour .
III.5/ Justifier la convergence de la série respectivement et exprimer respectivement en fonction d'une intégrale.
III.6/ Etablir l'inégalité :

III.7/ Soit et .On considère l'intégrale double :

III.7.1/ Exprimer en fonction de l'intégrale .
III.7.2/ Exprimer en fonction de l'intégrale .
III.7.3/ Montrer que :

III.7.4/ Déterminer les fonctions telles que :