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CCINP Mathématiques 1 MP 2001

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
CCINP
Année
2001
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2001MP MathsMaths 2001
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE: 4 heures
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Après une première partie consacrée à l'étude de la projection sur les convexes fermés de on établira (dans ) le théorème du point fixe de Brouwer et quelques unes de ses conséquences.
On suppose que est muni de son produit scalaire canonique et de la norme associée, notés ( ) et , donc si et sont des éléments de on a: et . Si est une partie de on notera son intérieur, soit on dira que est un point fixe de si ; si désigne la composante de rang de , donc .

I. Projection sur un convexe fermé de

  1. Démontrer que si , on a (inégalité de Schwarz). Montrer que si et seulement si et sont colinéaires. Montrer que si vérifie: et on a alors: .
  2. Soit un fermé non vide de , soit , montrer qu'il existe tel que: pour tout (on supposera d'abord que est borné avant d'étudier le cas général).
  3. Soit un convexe fermé non vide de , montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout , il existe un unique tel que pour tout .
Ceci établit le théorème de projection sur les convexes de : soit un convexe fermé non vide de , il existe une unique application, notée , de dans qui vérifie: , pour tout . s'appelle la projection de sur .
4. Montrer que s'il existe tel que: pour tout , on a: .
5. Supposons qu'il existe tel que: .
Soit alors définie par: .
Montrer qu'il existe tel que: .
6. Déduire de 4. et 5. que si et seulement si: et pour tout .
7. Soit montrer que: . En déduire que vérifie les propriétés suivantes: est continue, si .
8. Montrer que si , alors (raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une boule de centre , de rayon strictement positif, incluse dans ).

II. Théorème de Brouwer dans

Pour toute la suite du problème, on se place dans ; si désigne le disque fermé de centre et de rayon et le cercle correspondant, on note et . On entend par application dérivable (ou ou ) de (ou de ) dans (ou ), la restriction à (ou à ) d'une application dérivable (ou ou ) définie sur un ouvert de (ou ), contenant (ou ), à valeurs dans ( ou ).
A. Cas particulier d'une application de classe
Soit , on suppose que est de classe et que et on se propose de montrer que possède au moins un point fixe. On va raisonner par l'absurde et supposer que: pour tout .
9. Montrer qu'il existe une application , unique, telle que: pour tout . Expliciter , montrer qu'elle est de classe et que si et seulement si . On pose et pour tout et .
10. Montrer que, pour tout , la matrice est singulière (on pourra, à cet effet, caractériser géométriquement l'image de l'application linéaire correspondante).
11. Soit définie par: .
(a) Montrer que: où et sont des applications continues de dans que l'on explicitera à l'aide des applications . Vérifier que pour tout .
(b) Soit définie par . Justifier l'existence de et calculer et .
(c) Montrer, grâce au théorème de Fubini, que .
(d) Soit de classe ;
soient .
Montrer que:
On obtient alors, de façon analogue:
Montrer que: et donc, que est constante; montrer que ceci est impossible.
On a ainsi démontré le théorème de Brouwer particulier: toute application de classe , de dans , a au moins un point fixe.

B. Forme générale du théorème de Brouwer

On admettra la généralisation suivante du théorème de Weierstrass: soit un fermé borné non vide de , soit . Si est continue, il existe, pour tout , une application de dans , de classe , telle que: .
12. Montrer que si est un fermé borné non vide de , et si est continue, il existe, pour tout une application de dans , de classe , telle que: .
13. Soit continue. Soit , il existe, d'après 12. une application de dans , de classe , telle que: .
Soit .
Montrer que et que: .
14. Montrer que si est continue, elle possède au moins un point fixe.
15. Soit , soit , montrer que si est continue, elle possède au moins un point fixe (considérer ).
16. Soit un convexe fermé borné non vide de , soit continue telle que: .
(a) Montrer qu'il existe tel que: .
(b) On associe au convexe fermé non vide la projection , comme cela a été défini en question 3. Soit alors définie par . Déduire de l'étude de que possède au moins un point fixe dans . On a donc le théorème de Brouwer général: si est un convexe fermé borné non vide de , et si est continue et vérifie: , alors possède au moins un point fixe dans .

III. Quelques conséquences du théorème de Brouwer

  1. Soit , telle que: pour tout . Montrer, en étudiant ( ), que ne peut être continue (ceci constitue le théorème de non rétraction).
  2. Soit telle que: continue et pour tout . Soit alors , montrer, en étudiant définie par: , que . En déduire que: .
  3. Soit telle que: est continue et pour tout . Supposons qu'il existe tel que: pour tout ; soit alors , de dans , définie par: .
    Montrer que est continue et que cela contredit le théorème de non rétraction: en déduire que ( ) ne peut être constante (on dit que n'est pas contractile).
  4. Soit telle que: continue, pour tout . Soit , soit , on définit, si , l'application par: .
    (a) Montrer qu'il existe tel que l'on ait:
    .
    (b) Montrer que .

Fin de l'énoncé.

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