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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE: 4 heures
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Après une première partie consacrée à l'étude de la projection sur les convexes fermés de

ℝ^n

on établira (dans

ℝ^2

) le théorème du point fixe de Brouwer et quelques unes de ses conséquences.

On suppose que

ℝ^n

est muni de son produit scalaire canonique et de la norme associée, notés (

|

) et

‖‖

, donc si

x = (x_1, \dots, x_n)

y = (y_1, \dots, y_n)

sont des éléments de

ℝ^n

on a:

(x|y) = \sum_(i = 1)^n x_i y_i

‖x‖ = (x|x)^(1/2)

. Si

X

est une partie de

ℝ^n

on notera

X^\circ

son intérieur, soit

f : X \to ℝ^n

on dira que

u \in X

est un point fixe de

f

f(u) = u

; si

i ∈ {1, …, n}, f_i

désigne la composante de rang

i

f

, donc

f(x) = (f_1(x), \dots, f_i(x), \dots, f_n(x))

I. Projection sur un convexe fermé de $ℝ^n$

Démontrer que si $(x, y) \in (ℝ^n)^2$ , on a $|(x|y)| \leq ‖x‖‖y‖$ (inégalité de Schwarz). Montrer que $|(x|y)| = ‖x‖‖y‖$ si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires. Montrer que si ${a, b, c} ⊂ ℝ^n$ vérifie: $b \neq c$ et $‖a - b‖ = ‖a - c‖,$ on a alors: $‖a - (b + c)/2‖ < ‖a - b‖$ .
Soit $F$ un fermé non vide de $ℝ^n$ , soit $x \in ℝ^n$ , montrer qu'il existe $u \in F$ tel que: $‖x - u‖ \leq ‖x - y‖$ pour tout $y \in F$ (on supposera d'abord que $F$ est borné avant d'étudier le cas général).
Soit $A$ un convexe fermé non vide de $ℝ^n$ , montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout $x \in ℝ^n$ , il existe un unique $u \in A$ tel que $‖x - u‖ \leq ‖x - y‖$ pour tout $y \in A$ .

Ceci établit le théorème de projection sur les convexes de

ℝ^n

: soit

A

un convexe fermé non vide de

ℝ^n

, il existe une unique application, notée

P

, de

ℝ^n

dans

A

qui vérifie:

‖x - P(x)‖ = min{‖x - y‖ : y \in A}

, pour tout

x \in ℝ^n

P(x)

s'appelle la projection de

x

sur

A

.
4. Montrer que s'il existe

α \in A

tel que:

(x - α|y - α) \leq 0

pour tout

y \in A

, on a:

α = P(x)

.
5. Supposons qu'il existe

y \in A

tel que:

(x - P(x)|y - P(x)) > 0

Soit alors

S : [0, 1] \to ℝ

définie par:

S(t) = ‖(x - P(x)) - t(y - P(x))‖^2

.
Montrer qu'il existe

t \in ]0, 1[

tel que:

S(t) < ‖x - P(x)‖^2

.
6. Déduire de 4. et 5. que

u = P(x)

si et seulement si:

u \in A

(x - u|y - u) \leq 0

pour tout

y \in A

.
7. Soit

{x, y} ⊂ ℝ^n

montrer que:

(x - y|P(x) - P(y)) \geq ‖P(x) - P(y)‖^2

. En déduire que

P

vérifie les propriétés suivantes:

P

est continue,

P(ℝ^n) = A, P(x) = x

x \in A

.
8. Montrer que si

x \notin A

, alors

P(x) \notin ^\circ

(raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une boule de centre

P(x)

, de rayon strictement positif, incluse dans

A

II. Théorème de Brouwer dans $ℝ^2$

Pour toute la suite du problème, on se place dans

ℝ^2

; si

r > 0, B¯(O, r)

désigne le disque fermé de centre

O

et de rayon

r

S(O, r)

le cercle correspondant, on note

B = B¯(O, 1)

S = S(O, 1)

. On entend par application dérivable (ou

C^1

C^2

) de

B

(ou de

B \times ℝ

) dans

ℝ^2

(ou

ℝ

), la restriction à

B

(ou à

B \times ℝ

) d'une application dérivable (ou

C^1

C^2

) définie sur un ouvert de

ℝ^2

(ou

ℝ^3

), contenant

B

(ou

B \times ℝ

), à valeurs dans

ℝ^2

( ou

ℝ

).
A. Cas particulier d'une application de classe

C^2

Soit

f : B \to ℝ^2

, on suppose que

f

est de classe

C^2

et que

f(B) \subset B

et on se propose de montrer que

f

possède au moins un point fixe. On va raisonner par l'absurde et supposer que:

f(x) \neq x

pour tout

x \in B

.
9. Montrer qu'il existe une application

ρ : B \to ℝ_+

, unique, telle que:

x + ρ(x)(x - f(x)) \in S

pour tout

x \in B

. Expliciter

ρ

, montrer qu'elle est de classe

C^2

et que

ρ(x) = 0

si et seulement si

x \in S

. On pose

α(x) = ρ(x)(x - f(x))

α_(ij)(x) = (\partialα_j)/(\partialx_i)(x)

pour tout

(i, j) ∈ {1, 2}^2

φ(x) = x + α(x)

.
10. Montrer que, pour tout

x \in B

, la matrice

((\partialφ_1)/(\partialx_1)(x), (\partialφ_1)/(\partialx_2)(x); (\partialφ_2)/(\partialx_1)(x), (\partialφ_2)/(\partialx_2)(x))

est singulière (on pourra, à cet effet, caractériser géométriquement l'image de l'application linéaire correspondante).
11. Soit

ψ : B \times ℝ \to ℝ

définie par:

ψ(x, t) = |1 + tα_(11)(x), tα_(21)(x); tα_(12)(x), 1 + tα_(22)(x)|

.
(a) Montrer que:

ψ(x, t) = 1 + tβ(x) + t^2 γ(x)

où

β

γ

sont des applications continues de

B

dans

ℝ

que l'on explicitera à l'aide des applications

(α_(ij))_((i, j) ∈ {1, 2}^2)

. Vérifier que

ψ(x, 1) = 0

pour tout

x \in B

.
(b) Soit

J : [0, 1] \to ℝ

définie par

J(t) = \iint_B ψ(x, t)dx_1 dx_2

. Justifier l'existence de

J

et calculer

J(0)

J(1)

.
(c) Montrer, grâce au théorème de Fubini, que

\iint_B β(x)dx_1 dx_2 = 0

.
(d) Soit

g : B \to ℝ^2

de classe

C^2

;
soient

I_1(g) = \iint_B(\partialg_1)/(\partialx_1)(x)(\partialg_2)/(\partialx_2)(x)dx_1 dx_2, I_2(g) = \iint_B(\partialg_1)/(\partialx_2)(x)(\partialg_2)/(\partialx_1)(x)dx_1 dx_2

.
Montrer que:

I_1(g) =, \int_(- 1)^(+ 1)[g_1(\sqrt(1 - s^2), s)(\partialg_2)/(\partialx_2)(\sqrt(1 - s^2), s) - g_1(- \sqrt(1 - s^2), s)(\partialg_2)/(\partialx_2)(- \sqrt(1 - s^2), s)]ds; - \iint_B g_1(x)(\partial^2 g_2)/(\partialx_1\partialx_2)(x)dx_1 dx_2

On obtient alors, de façon analogue:

I_2(g) =, \int_(- 1)^(+ 1)[g_1(s, \sqrt(1 - s^2))(\partialg_2)/(\partialx_1)(s, \sqrt(1 - s^2)) - g_1(s, - \sqrt(1 - s^2))(\partialg_2)/(\partialx_1)(s, - \sqrt(1 - s^2))]ds; - \iint_B g_1(x)(\partial^2 g_2)/(\partialx_2\partialx_1)(x)dx_1 dx_2

Montrer que:

\iint_B γ(x)dx_1 dx_2 = 0

et donc, que

J

est constante; montrer que ceci est impossible.

On a ainsi démontré le théorème de Brouwer particulier: toute application de classe

C^2

, de

B

dans

B

, a au moins un point fixe.

B. Forme générale du théorème de Brouwer

On admettra la généralisation suivante du théorème de Weierstrass: soit

F

un fermé borné non vide de

ℝ^2

, soit

g : F \to ℝ

. Si

g

est continue, il existe, pour tout

ε > 0

, une application

g_((ε))

ℝ^2

dans

ℝ

, de classe

C^2

, telle que:

sup{|g_((ε))(x) − g(x)| : x ∈ F} ≤ ε

.
12. Montrer que si

F

est un fermé borné non vide de

ℝ^2

, et si

g : F \to ℝ^2

est continue, il existe, pour tout

ε > 0

une application

g_((ε))

ℝ^2

dans

ℝ^2

, de classe

C^2

, telle que:

sup{‖g_((ε))(x) − g(x)‖ : x ∈ F} ≤ ε

.
13. Soit

f : B \to B, f

continue. Soit

ε > 0

, il existe, d'après 12. une application

f_((ε))

ℝ^2

dans

ℝ^2

, de classe

C^2

, telle que:

sup{‖f_((ε))(x) − f(x)‖ : x ∈ B} ≤ ε

.
Soit

h_((ε)) : ℝ^2 \to ℝ^2, h_((ε))(x) = (f_((ε))(x))/(1 + ε)

.
Montrer que

h_((ε))(B) \subset B

et que:

sup{‖h_((ε))(x) − f(x)‖ : x ∈ B} ≤ 2ε

.
14. Montrer que si

f : B \to B

est continue, elle possède au moins un point fixe.
15. Soit

r > 0

, soit

f : B¯(O, r) \to B¯(O, r)

, montrer que si

f

est continue, elle possède au moins un point fixe (considérer

g : B \to ℝ^2, g(x) = 1/rf(rx)

).
16. Soit

A

un convexe fermé borné non vide de

ℝ^2

, soit

f : A \to ℝ^2, f

continue telle que:

f(A∖A^\circ) \subset A

.
(a) Montrer qu'il existe

r > 0

tel que:

A \cup f(A) \subset B¯(O, r)

.
(b) On associe au convexe fermé non vide

A

la projection

P

, comme cela a été défini en question 3. Soit alors

h : B¯(O, r) \to ℝ^2

définie par

h(x) = f(P(x))

. Déduire de l'étude de

h

que

f

possède au moins un point fixe dans

A

. On a donc le théorème de Brouwer général: si

A

est un convexe fermé borné non vide de

ℝ^2

, et si

f : A \to ℝ^2^-

est continue et vérifie:

f(A∖A^\circ) \subset A

, alors

f

possède au moins un point fixe dans

A

III. Quelques conséquences du théorème de Brouwer

Soit $f : B \to S$ , telle que: $f(x) = x$ pour tout $x \in S$ . Montrer, en étudiant ( $- f$ ), que $f$ ne peut être continue (ceci constitue le théorème de non rétraction).
Soit $f : B \to ℝ^2$ telle que: $f$ continue et $f(x) = x$ pour tout $x \in S$ . Soit alors $y \notin f(B)$ , montrer, en étudiant $g : B \to ℝ^2$ définie par: $g(x) = (y - f(x))/(‖y - f(x)‖)$ , que $y \notin B$ . En déduire que: $B \subset f(B)$ .
Soit $h : S \times [0, 1] \to S$ telle que: $h$ est continue et $h(x, 0) = x$ pour tout $x \in S$ . Supposons qu'il existe $y \in S$ tel que: $h(x, 1) = y$ pour tout $x \in S$ ; soit alors $f$ , de $B$ dans $S$ , définie par: $f(x) = {h(x/(‖x‖), 1 - ‖x‖), si x \neq O; y, si x = O$ .
Montrer que $f$ est continue et que cela contredit le théorème de non rétraction: en déduire que ( $x \to h(x, 1)$ ) ne peut être constante (on dit que $S_-$ n'est pas contractile).
Soit $f : ℝ^2 \to ℝ^2$ telle que: $f$ continue, $(f(x)|x) \geq 0$ pour tout $x \in ℝ^2, ‖f(x)‖ ⟶ _(‖x‖ \to + \infty) + \infty$ . Soit $y \in ℝ^2$ , soit $r > 0$ , on définit, si $y \notin f(B¯(O, r))$ , l'application $g_((r)) : B¯(O, r) \to ℝ^2$ par: $g_((r))(x) = r(y - f(x))/(‖y - f(x)‖)$ .
(a) Montrer qu'il existe $u_((r)) \in S(O, r)$ tel que l'on ait:
$(f(u_((r)))|u_((r))) = (y|u_((r))) - r‖y - f(u_((r)))‖$ .
(b) Montrer que $f(ℝ^2) = ℝ^2$ .

Fin de l'énoncé.

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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

I. Projection sur un convexe fermé de ℝ^n

II. Théorème de Brouwer dans ℝ^2

B. Forme générale du théorème de Brouwer

III. Quelques conséquences du théorème de Brouwer

Fin de l'énoncé.

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I. Projection sur un convexe fermé de $ℝ^n$

II. Théorème de Brouwer dans $ℝ^2$