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CCINP Mathématiques 1 MP 2000

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales à paramètresTopologie/EVNSéries et familles sommables

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CCINP MP CCINP 2000 MP Maths Maths 2000

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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES I

DURÉE: 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire

99-018 du 01.02.99.

Le problème proposé a pour but la démonstration d'un théorème relatif aux contractions d'un espace de Banach et l'étude, grâce à ce théorème, d'une équation fonctionnelle.

sont des ensembles,

désigne l'ensemble des applications de

dans

.
Si

est un ensemble non vide,

désigne la norme de la convergence uniforme sur l'espace vectoriel des applications bornées de

dans

Partie I: Convergence uniforme dans

Soit

une suite de Cauchy, pour

, de

Montrer que, pour tout converge. Soit la limite simple de la suite .
Montrer que est bornée et que .
Justifier que est un espace de Banach.
Soit la suite de définie par: pour tout . Montrer que, pour tout converge. La suite est-elle de Cauchy pour ?
Soit la suite de définie par: pour tout . Montrer que converge uniformément sur vers un élément de .

Partie II: Théorème du point fixe de Banach

Soit

un espace de Banach réel, soit

un sous-ensemble fermé non vide de

et soit

vérifiant: il existe

tel que

pour tout

(on dit que

est contractante ou encore que

est une contraction).

Soit tel que: . Montrer que .
Soit , on définit par:
2.1 Montrer que: . En déduire que si on a:

2.2 Montrer que

est convergente et que sa limite est élément de

.
2.3 Montrer que

possède un unique point fixe qui est la limite de

. On établit ainsi le théorème du point fixe de Banach: «Toute contraction

d'un fermé non vide

d'un espace de Banach possède un point fixe unique, de plus si

, la suite

définie par

, converge vers ce point fixe ».
3. On suppose que

, soit alors,

définie par:

.
3.1 Montrer que

est une bijection continue de

sur

.
3.2 Montrer que, pour tout

on a:

(

est donc un homéomorphisme de

sur

).
4. Soit

(

linéaire et

continue)

, on note encore

la norme subordonnée de

; soit

l'identité de

.
4.1 Soit

telle que

, montrer que

est contractante.
4.2 Soit

une suite de

et soit

tels que:

pour tout

.
Soit

alors, d'après

sont des isomorphismes de

; on peut donc définir

, montrer que:

(on aura intérêt à écrire:

Partie III : Une transformation de

Soit

, on dira que

est de type

si:

est continue et, il existe

tel que l'on ait:

pour tout

Montrer que s'il existe , tel que: et pour tout , alors est de type .
On suppose que est de type .
2.1 Soit , montrer que pour tout .
2.2 Montrer que l'on peut définir par: . Montrer que, pour tout .
2.3 Montrer que l'on a:

pour tous

.
2.4 On définit, pour

par:

. On suppose

, montrer que l'on a:

est un homéomorphisme de (

) sur lui même.
3. Soit

, soit

définie par:

; on supposera

.
3.1 Montrer que

est de type

et que si

alors on a:

est un isomorphisme de (

) sur lui même.
3.2 Soit

une suite de

telle que:

. On note

la norme subordonnée, associée à

, définie sur

. Si

est la suite de

définie par

, montrer que:

Partie IV : Étude d'une application

On considère l'équation intégrale de Fredholm:

.
Une solution de

(s'il en existe) est donc un élément

tel que, pour tout

, on ait:

. On s'intéresse à la résolution de

dans

Montrer, en utilisant III) que ( ) possède une solution unique .
Soit la suite de définie par: . Pour on définit l'équation intégrale par: .
2.1 Montrer que ( ) possède une solution unique et expliciter .
2.2 Montrer que, pour tout , la résolution de se ramène à celle d'un système linéaire que l'on explicitera.
2.3 Montrer, en utilisant III.3), que si alors possède une solution unique (on aura intérêt à montrer que:

).
2.4 Montrer que