X ENS Mathématiques A MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Difficile

Formes quadratiques sur un corps de caractéristique nulle et groupes d'isométries associés

Le sujet étudie les formes quadratiques non dégénérées sur un corps de caractéristique nulle quelconque, sans supposer qu'il s'agit de R. Après des préliminaires sur les isométries, il établit l'existence de bases orthogonales, étudie les groupes O(r,s) dans le cas réel (fermeture, connexité par arcs, composantes de O(2,1)), puis aborde la somme orthogonale et les théorèmes de Witt.

1Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométriesCorrespondance entre formes quadratiques et formes bilinéaires symétriques, caractérisation matricielle de la non-dégénérescence, orthogonal d'un vecteur et isomorphisme entre groupes d'isométries (questions 1 à 5).
2Première partie : existence des bases orthogonalesFormes isotropes, plan hyperbolique et construction par récurrence sur la dimension d'une base orthogonale sur un corps quelconque (questions 6 et 7).
3Deuxième partie : étude de O(q) quand K = RSignature, déterminant des isométries, O(r,s) sous-groupe fermé, compacité, connexité par arcs de SO(2) et décomposition de O(2,1) en quatre composantes (questions 8 à 16).
4Troisième partie : somme orthogonaleSomme orthogonale de formes, réflexions et théorèmes de simplification et de décomposition de Witt (questions 17 à 20).

Difficile. Le jury juge le sujet relativement long pour la plupart des candidats, la troisième partie a été peu traitée et la moyenne est de 8,57 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,57 / 20 · écart-type 3,81 · 1 515 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,57/ 20
Écart-type: 3,81
Copies: 1 515

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Utiliser des résultats propres à R · Formules toutes faites pour masquer un raisonnement incomplet · Récurrence sur la dimension mal rédigée

Le fait de travailler sur un corps quelconque de caractéristique nulle a dérouté de nombreux candidats, qui ont utilisé des résultats valables seulement sur R. Le sujet s'est révélé long et la troisième partie a été peu abordée. Le jury regrette un manque de précision dans les raisonnements, y compris chez de bons candidats, et a valorisé ceux qui ont traité à fond des questions difficiles plutôt que grappillé.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Utiliser des résultats propres à RQuestion 7a
Sur un corps quelconque, on ne peut pas invoquer la diagonalisation d'un endomorphisme symétrique en base orthogonale ; plusieurs candidats l'ont fait en question 7a.
2
Formules toutes faites pour masquer un raisonnement incomplet
Des expressions comme « il est évident que » servent trop souvent à cacher une preuve inachevée ; le jury le remarque.
« il est évident que », « on a forcément »
3
Récurrence sur la dimension mal rédigéeQuestion 7a
La construction d'une base orthogonale ne présentait pas de difficulté particulière avec les résultats précédents, mais beaucoup de candidats n'ont pas écrit proprement la récurrence.
« Le jury déplore que beaucoup trop de candidats n’ont pas pris le temps d’écrire un raisonnement par récurrence sur la dimension de façon claire »
4
Arguments de dimension mal employésQuestion 2
Pour la bijectivité de l'application qui associe à q sa forme polaire, certains invoquent à tort qu'injectif implique bijectif.
5
Propriétés d'isomorphisme de groupes oubliéesQuestion 5
Même avec la bonne application par conjugaison, des candidats oublient de vérifier certaines propriétés, en particulier que l'image de l'identité est l'identité.
6
Connexité par arcs et image réciproqueQuestions 12 et 14c
L'image réciproque d'un ensemble connexe par arcs par une application continue n'est pas connexe par arcs : il fallait expliciter un chemin.

Ce qui a été bien réussi

Les questions 1, 3b, 4c et 6a n'ont guère posé de problème.
Les questions 13a et 13b ont été bien traitées.
Les questions 18a et 18b, relativement faciles, ont été beaucoup abordées et bien réussies.
Quelques candidats ont traité presque tout le sujet de façon quasiment exacte.

Conseils du jury

Rédiger avec soin les questions préliminaires sans y passer un temps excessif.
Écrire les quantificateurs quand ils jouent un rôle dans le raisonnement, comme en question 4a.
Rédiger clairement les récurrences sur la dimension.
Vérifier toutes les conditions demandées, par exemple le signe de z_f en question 14a.
Prendre le temps de traiter des questions difficiles plutôt que de grappiller des points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLCR)

(Durée : 4 heures)

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Ce sujet porte sur l'étude des formes quadratiques sur un corps de caractéristique nulle et des groupes d'isométries associés.

Notations, Définitions

Dans tout ce problème,

𝕂

désignera un corps de caractéristique nulle, c'est-à-dire un corps tel que, pour tout entier

n \neq 0

, on a

n \cdot 1 \neq 0

dans

𝕂

où 1 désigne l'unité de la loi multiplicative de

𝕂

, et

n \cdot 1 = 1 + \dots + 1

Soit

V

𝕂

-espace vectoriel de dimension finie. On rappelle les trois points suivants.

Une forme bilinéaire symétrique sur $V$ est une application $b : V \times V \to 𝕂$ telle que

b(x, y) = b(y, x) et b(x + λy, z) = b(x, z) + λb(y, z)

pour tous

x, y, z \in V

λ \in 𝕂

Une forme quadratique sur $V$ est une application $q : V \to 𝕂$ telle que :
i) $q(λv) = λ^2 q(v)$ pour tout $λ \in 𝕂$ et tout $v \in V$ ;
ii) l'application $q˜ : V \times V \to 𝕂$ définie $par(x, y) \mapsto q˜(x, y) = 1/2(q(x + y) - q(x) - q(y))$ est bilinéaire symétrique.
Une forme quadratique est dite non dégénérée si, pour tout $v \in V - {0}$ , il existe $w \in V$ tel que $q˜(v, w) \neq 0$ .

On notera

Q(V)

l'ensemble des formes quadratiques non dégénérées sur

V

Soient

V

V^'

deux

𝕂

-espaces vectoriels de dimension finie.

Une isométrie entre deux formes quadratiques $q : V \to 𝕂$ et $q^' : V^' \to 𝕂$ est un isomorphisme linéaire $f : V \to V^'$ tel que $q^' \circ f = q$ . On notera $q ≅ q^'$ si $q$ et $q^'$ sont isométriques, c'est-à-dire s'il existe une isométrie entre $q$ et $q^'$ .

On notera

O(q):={f \in GL(V)|q \circ f = q}

le sous ensemble de

GL(V)

des isométries

f : V \to V

entre

q

et elle-même. On appelle

O(q)

le groupe orthogonal de

q

Les deuxième et troisième parties du problème sont largement indépendantes.

Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries

Soit

V

𝕂

-espace vectoriel de dimension finie

n

. Soient

a_1, …, a_n ∈ 𝕂 − {0}

. On note

⟨a_1, \dots, a_n⟩

la forme quadratique

q

définie sur

𝕂^n

par la formule

q(x_1, \dots, x_n) = a_1 x_1^2 + \dots + a_n x_n^2

Démontrer que $⟨a_1, \dots, a_n⟩$ est bien une forme quadratique sur $𝕂^n$ .
Démontrer que l'application $q \mapsto q˜$ est une bijection de l'ensemble des formes quadratiques sur $V$ sur les formes bilinéaires symétriques sur $V$ .
Soit $B:=(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $V$ . On associe à toute forme bilinéaire symétrique $b$ sur $V$ une matrice symétrique $Φ_B(b):=(b(e_i, e_j))_(i, j = 1\dotsn)$ appelée matrice de $b$ dans la base $B$ . On rappelle que $b \mapsto Φ_B(b)$ est un isomorphisme entre l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur $V$ et celui des matrices symétriques carrées de taille $n$ .
(a) Démontrer qu'une forme quadratique $q$ sur $V$ est non dégénérée si et seulement si le déterminant $det(Φ_B(q~))$ est non nul.
(b) Quelle est la matrice de $⟨a_1, \dots, a_n⟩$ dans la base canonique de $𝕂^n$ ? En déduire que $⟨a_1, \dots, a_n⟩ \in Q(𝕂^n)$ .
Soit $q \in Q(V)$ une forme quadratique non dégénérée sur $V$ .
(a) Soit $V^'$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie et $q^'$ une forme quadratique sur $V^'$ . Démontrer que si $q$ et $q^'$ sont isométriques, alors $q^'$ est dans $Q(V^')$ , c'est-à-dire non dégénérée.
(b) Pour $x \neq 0$ , on note ${x}^⊥:={y ∈ V|q˜(x, y) = 0}$ . Montrer que ${x}^⊥$ est un sous-espace vectoriel de $V$ de dimension $n - 1$ .
(c) A quelle condition sur $x$ le sous-espace ${x}^⊥$ est-il un supplémentaire de la droite $𝕂x$ dans $V$ ?
Soient $q \in Q(V)$ et $q^' \in Q(V^')$ où $V^'$ est un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que $O(q)$ est un sous-groupe de $GL(V)$ et que si $q ≅ q^'$ , alors $O(q)$ et $O(q^')$ sont deux groupes isomorphes.

Première partie : Existence des bases orthogonales

Soit

V

𝕂

-espace vectoriel de dimension finie non nulle et

q \in Q(V)

.
6. On dit que

q

est isotrope s'il existe

x \in V - {0}

tel que

q(x) = 0

. Dans le cas contraire, on dit que

q

est anisotrope.
(a) Démontrer qu'il existe

x \in V

tel que

q(x) \neq 0

.
(b) On note

h

la forme quadratique sur

𝕂^2

définie par

h(x_1, x_2) = x_1 x_2

(on ne demande pas de vérifier que

h

est une forme quadratique). Montrer que si

V

est de dimension deux et

q

est isotrope alors

q

est isométrique à

h

.
(c) Démontrer que si

q \in Q(V)

est isotrope, alors

q : V \to 𝕂

est surjective.
7. Une base

(e_1, \dots, e_n)

V

est dite orthogonale pour

q

q˜(e_i, e_j) = 0

pour tout

i \neq j

.
(a) Montrer qu'il existe une base orthogonale pour

q

Indication : on pourra considérer

{x}^⊥ = {y ∈ V|q˜(x, y) = 0}

et utiliser les questions 4 c et 6 a .
(b) En déduire qu'il existe

a_1, …, a_n ∈ 𝕂 − {0}

tels que

q ≅ ⟨a_1, \dots, a_n⟩

Deuxième partie : Étude de $O(q)$ quand $𝕂 = ℝ$

On suppose dans cette partie que

𝕂 = ℝ

.
8. Soit

q \in Q(ℝ^n)

(

n \geq 1

). Démontrer qu'il existe un couple d'entiers (

r, s

) (

r + s = n

) tel que

q

soit isométrique à

Q_(r, s)

définie sur la base canonique de

ℝ^n

par

Q_(r, s)(x_1, \dots, x_n) = \sum_(i = 1)^r x_i^2 - \sum_(j = r + 1)^n x_j^2.

Soit

j : L(ℝ^n) ⟶ M_n(ℝ)

l'isomorphisme linéaire qui à tout endomorphisme associe sa matrice dans la base canonique de

ℝ^n

. On note

O_(r, s):=j(O(Q_(r, s)))

le sous-ensemble de matrices associé au groupe orthogonal

O(Q_(r, s))

Q_(r, s)

.
9. Soit

f : ℝ^n \to ℝ^n

une application linéaire et

M = j(f)

sa matrice dans la base canonique de

ℝ^n

.
Démontrer que

M \in O_(r, s)

si et seulement si

^t MI_(r, s)M = I_(r, s)

où

I_(r, s)

est la matrice

I_(r, s) = [I_r, 0_(r, s); 0_(s, r), - I_s], I_p

désigne la matrice identité de taille

p \times p

0_(p, q)

la matrice nulle de taille

p \times q

pour tous entiers

p

q

.
Que peut-on dire du déterminant

det(M)

M

M \in O_(r, s)

?
10. Démontrer que

O_(r, s)

est un sous-groupe fermé de

GL_n(ℝ)

(on munit

M_n(ℝ)

, l'ensemble des matrices carrées de taille

n

à coefficients dans

ℝ

, de sa topologie de

ℝ

-espace vectoriel de dimension finie).
11. On note

O(n)

le groupe orthogonal usuel de

ℝ^n

(qui s'identifie à

O_(n, 0)

). On note

K_(r, s):=O_(r, s) \cap O(n)

.
Démontrer que

K_(r, s)

est compact et en bijection avec

O(r) \times O(s)

.
12. Démontrer que

SO(2) = {M \in O(2)|det(M) = 1}

est connexe par arcs.
13. Soit

H:={(x, y, z) ∈ ℝ^3|z^2 = x^2 + y^2 + 1}

un hyperboloïde à deux nappes.
(a) Démontrer que si

f \in O(Q_(2, 1))

, alors

f(H) = H

.
(b) On note

SO_(2, 1):={M ∈ O_(2, 1)|det(M) = 1}

. Démontrer que

SO_(2, 1)

est un sous-groupe fermé de

O_(2, 1)

.
14. Pour

f \in O(Q_(2, 1))

, on note

(x_f, y_f, z_f)

le vecteur

f(0, 0, 1)

. On note également

SO_(2, 1)^+:={M = j(f) ∈ SO_(2, 1)|z_f > 0}

.
(a) Démontrer que, pour tout

t \in ℝ

, l'application linéaire

r_t

dont la matrice (dans la base canonique de

ℝ^3

) vaut

[1, 0, 0; 0, ch(t), sh(t); 0, sh(t), ch(t)]

est dans

SO_(2, 1)^+

(on pourra appeler par la suite une telle application linéaire une rotation hyperbolique).
(b) Soit

M = j(f)

. On suppose que

M \in SO_(2, 1)^+

. Montrer qu'il existe une rotation (au sens usuel)

ρ

d'axe (

0, 0, 1

) et

t \in ℝ

tels que

r_t \circ ρ \circ f \in SO_(2, 1)^+

et vérifie

r_t \circ ρ \circ f(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

.
(c) Démontrer que

SO_(2, 1)^+

est connexe par arcs.
15. Déduire de la question 14 que

O_(2, 1)

est la réunion de quatre sous-ensembles fermés disjoints deux à deux et connexes par arcs.
16. Démontrer qu'il existe un morphisme surjectif de groupes

ψ : O_(2, 1) \to ℤ/2ℤ \times ℤ/2ℤ

dont le noyau est

SO_(2, 1)^+

Troisième partie

On revient dans cette dernière partie au cas où

𝕂

est un corps quelconque de caractéristique nulle.

V

V^'

sont deux

𝕂

-espaces vectoriels de dimension finie,

q \in Q(V)

q^' \in Q(V^')

sont deux formes quadratiques non dégénérées, la somme orthogonale

q ⊥ q^'

q

q^'

est la forme quadratique sur

V \times V^'

définie par

q ⊥ q^'(x, x^') = q(x) + q^'(x^')

pour tout

x \in V

et tout

x^' \in V^'

.
17. Soient

V, V^'

V^('')

trois

𝕂

-espaces vectoriels de dimension finie et

(q, q^', q^('')) \in Q(V) \times Q(V^') \times Q(V^(''))

.
(a) Montrer que

q ⊥ q^' \in Q(V \times V^')

puis que

(q ⊥ q^') ⊥ q^('') ≅ q ⊥ (q^' ⊥ q^(''))

.
(b) Montrer que si

q^' ≅ q^('')

alors

q ⊥ q^' ≅ q ⊥ q^('')

.
(c) Démontrer que si

V = V^' \oplus V^('')

q~(x, y) = 0

pour tout

x \in V^'

et tout

y \in V^('')

, alors

q ≅ q^' ⊥ q^('')

où

q^'

est la restriction de

q

V^'

q^('')

celle de

q

V^('')

.
18. Soient

V

𝕂

-espace vectoriel de dimension finie,

q \in Q(V)

v, w \in V

deux vecteurs distincts de

V

tels que

q(v) = q(w) \neq 0

.
On veut montrer dans cette question qu'il existe alors une isométrie

h \in O(q)

telle que

h(v) = w

.
(a) Soit

x \in V

tel que

q(x) \neq 0

. On note

s_x

l'endomorphisme de

V

défini par

y \mapsto s_x(y) = y - 2(q˜(x, y))/(q(x))x

. Montrer que

s_x

- s_x

appartiennent à

O(q)

.
(b) On suppose ici que

q(w - v) \neq 0

. Montrer que l'application

s_(w - v)

est une isométrie telle que

s_(w - v)(v) = w

.
(c) On suppose ici que

q(w - v) = 0

. Montrer qu'il existe une isométrie

g \in O(q)

telle que

g(v) = w

et conclure.
19. Soient

(V_i)_(1 \leq i \leq 3)

trois

𝕂

-espaces vectoriels de dimension finie et

q_i \in Q(V_i)

pour

1 \leq i \leq 3

vérifiant

q_1 ⊥ q_3 ≅ q_2 ⊥ q_3

. Montrer que

q_1 ≅ q_2

.
Indication : on pourra raisonner par récurrence et utiliser les questions 17 et 18.
20. Soit

V

𝕂

-espace vectoriel de dimension finie et

q \in Q(V)

. Montrer qu'il existe un unique entier

m

positif ou nul et une forme quadratique anisotrope

q_(an)

, unique à isométrie près, tels que

q ≅ q_(an) ⊥ m \cdot h

où

m \cdot h = h ⊥ \dots ⊥ h

est la somme orthogonale de

m

copies de

h

h

est la forme quadratique introduite par la question 6 b .
Indication : on pourra utiliser la question 6 b et la question précédente.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet X ENS Maths A MP 2014 ?

Sur les formes quadratiques non dégénérées sur un corps de caractéristique nulle : bases orthogonales, groupes O(r,s) dans le cas réel et théorèmes de Witt sur la somme orthogonale.

Quelle est la moyenne en Maths A X ENS MP 2014 ?

Le rapport indique, pour les candidats français, une moyenne de 8,57 avec un écart-type de 3,81 sur 1515 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A X MP 2014 ?

L'usage de résultats valables seulement sur R, des raisonnements cachés derrière « il est évident que », des récurrences mal rédigées et des erreurs sur la connexité par arcs.

Quelles questions étaient les plus sélectives en Maths A X ENS 2014 ?

Le jury cite les questions 3a et 5 comme premières questions sélectives, et la question 6b comme difficile, presque jamais traitée de façon satisfaisante.

Pas de description pour le moment

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Ce qui a été bien réussi

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLCR)

Notations, Définitions

Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries

Première partie : Existence des bases orthogonales

Deuxième partie : Étude de O(q) quand 𝕂 = ℝ

Troisième partie

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet X ENS Maths A MP 2014 ?

Quelle est la moyenne en Maths A X ENS MP 2014 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A X MP 2014 ?

Quelles questions étaient les plus sélectives en Maths A X ENS 2014 ?

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Deuxième partie : Étude de $O(q)$ quand $𝕂 = ℝ$