Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesSéries et familles sommablesIntégrales généraliséesPolynômes et fractionsInformatique
Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 7 pages.
CONSIGNES
Tous les feuillets doivent être identifiables et paginés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.
Cócricome
EXERCICE 1
On définit la suite des polynômes de Tchebychev par et pour tout :
On rappelle que pour tout :
1.(a) Expliciter et .
(b) Déterminer pour tout le degré de .
(c) Montrer que, pour tout est une base de .
2.(a) Montrer que, pour tout et tout :
(b) Montrer que, pour tout et :
3.(a) Montrer que pour tout couple , l'intégrale est convergente.
(b) Montrer que l'application
définit un produit scalaire sur .
On notera ce produit scalaire et la norme associée.
(c) Montrer que si et sont deux entiers naturels distincts, alors .
(d) Montrer que si et sont deux entiers naturels distincts, .
Indication : On pourra procéder au changement de variable après avoir justifié sa validité.
(e) Montrer que :
(f) En déduire une base orthonormée de pour le produit scalaire .
4. Soit un entier non nul. On définit la distance de à par :
(a) Justifier que : .
(b) Montrer alors que : .
(c) Déterminer en particulier la valeur de .
Cócricome
EXERCICE 2
Soit une suite de réels. Si la série numérique de terme général converge, on dit qu'elle converge à l'ordre 1 et on note alors la suite des restes de cette série, autrement dit :
Si à nouveau la série de terme général converge, on dit que la série converge à l'ordre 2 et note la suite des restes de cette série, autrement dit :
Plus généralement, pour tout entier , si la série de terme général converge, on dit que la série converge à l'ordre et on note alors la suite des restes de cette série :
On peut noter : pour tout .
Le but de cet exercice est d'étudier, sur certains exemples, l'ordre de la convergence de la série de terme général .
Soit . On considère, dans cette question uniquement, que pour tout .
(a) Rappeler la condition nécessaire est suffisante sous laquelle converge.
On se place désormais sous cette condition.
(b) Pour tout entier , justifier que :
(c) En déduire que pour tout :
(d) En déduire que :
(e) Sous quelle condition nécessaire et suffisante sur , la série converge-t-elle à l'ordre 2 ?
(f) Conjecturer à quel ordre la série converge.
Cocricome
On considère, dans cette question uniquement, que pour tout .
(a) Montrer que la série converge.
(b) Montrer que, pour tout , puis en déduire que, pour tout :
(c) En déduire que la série converge à l'ordre 2 , et que, pour tout :
(d) Montrer que, pour tout , la série converge à l'ordre et que pour tout :
(e) La série converge-t-elle?
3. On considère, dans cette question uniquement, que pour tout .
(a) Montrer que :
(b) Soit . En remarquant que pour tout , montrer que :
(c) En déduire que la série converge et que, pour tout :
(d) Montrer par récurrence que, pour tout entier , la série converge à l'ordre et que pour tout :
PROBLÈME
On étudie dans ce problème un processus temporel de comptage appelé processus de Poisson. L'objectif de ce problème est d'étudier ce processus en partant de deux définitions différentes, qui se révèleront être équivalentes.
Les deux parties de ce problème sont indépendantes.
Partie A - Définition par .
On considère dans cette partie une suite de variables aléatoires , mutuellement indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre .
Pour tout , on note
avec la convention .
Enfin, pour tout , on note la variable aléatoire égale à la plus grande valeur de pour laquelle est inférieure ou égale à , c'est-à-dire :
Par convention, si l'ensemble écrit ci-dessus n'est pas fini, on pose : .
Figure 1 - Exemple de réalisation de en fonction de .
Pour tout réel strictement positif, montrer que : .
Montrer qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre si et seulement si suit la loi de paramètre 1.
Pour tout entier non nul, en déduire une densité de la variable aléatoire .
Pour tout réel strictement positif et pour tout entier naturel , comparer les événements [ ] et .
En déduire que pour tout et :
En intégrant par parties une des intégrales ci-dessus, montrer que :
Quelle est la loi de ?
7. On rappelle que l'instruction Scilab grand( , "exp", 1 /lambda) renvoie une matrice à lignes et colonnes dont les coefficients sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre lambda.
On rappelle également que l'instruction Scilab plot2d effectue un tracé qui relie les points si et sont deux vecteurs de même taille.
(a) Écrire une fonction d'en-tête function simulation_ , lambda) renvoyant une réalisation de .
(b) Écrire une fonction d'en-tête function simulation_N(t,lambda) renvoyant une réalisation de .
(c) On a commencé à écrire une fonction evolution_S renvoyant toutes les valeurs tant que . Compléter cette fonction.
function L = evolution_S(t,lambda)
L = []
S = grand(1,1,"exp",1/lambda)
while ..........
L= [L,S]
S = S + .........
end
endfunction
(d) On a commencé à écrire un script Scilab ci-dessous. Dans ce script, on note et on souhaite tracer l'évolution de du temps 0 au temps de la même manière que sur la figure 1.
function S = trace_N(t,lambda)
S=evolution_S(T;lambda)
n = length(S)
plot2d([0,S(1)],[0,0])
for i = 1:n-1
..........
end
endfunction
Par laquelle des instructions suivantes faut-il compléter la ligne manquante?
i) plot2d([S(i),S(i+1)],[i,i])
ii) plot2d([i,i+1],[S(i),S(i+1)])
iii) plot2d([S(i-1),S(i)],[i,i])
iv) plot2d([i,S(i+1)],[i,i])
(e) Un ⋅ e étudiant ⋅ e exécute le script précédent pour et et on obtient la figure suivante :
Que valent dans ce cas et ?
Donner une valeur approximative de et de .
Partie B - Définition par
On rappelle que les parties de ce problème sont indépendantes.
Dans cette partie, on définit une famille de variables aléatoires vérifiant les propriétés suivantes : et pour tout ; : pour tout ; : pour tous réels et , la variable aléatoire est indépendante de la variable aléatoire ; de plus, et ont la même loi; lorsque tend vers 0 par valeurs positives.
Enfin, pour tout et tout , on note :
Propriétés élémentaires.
(a) Que vaut ?
(b) Montrer que le processus est croissant, c'est-à-dire que pour tous :
Détermination de .
(a) En écrivant , montrer que pour tout :
(b) En déduire que la fonction est strictement décroissante sur .
(c) Montrer que pour tous et :
En déduire que pour tous et :
On pourra poser et utiliser le début de la question.
(d) Soit . On admet qu'il existe deux suites de nombres rationnels telles que :
Soit tel que . Montrer que :
Loi de .
Par la suite, et .
(a) Donner le développement limité à l'ordre 1 de lorsque tend vers 0 .
(b) Après avoir justifié que ( ) est un système complet d'événements, montrer que :
(c) En écrivant et en utilisant le système complet d'événements introduit précédemment, montrer que
(d) Déduire de cette dernière égalité que,
En déduire que est dérivable en et donner l'expression de .
(e) Pour tous de et de , on pose .
Justifier la dérivabilité de , puis montrer que :
(f) Montrer par récurrence que :
(g) Quelle est la loi de ?
11. Pour tout , on note le premier instant où vaut , c'est-à-dire :
(a) Que vaut ? On le justifiera en revenant précisément à la définition donnée.
(b) Soit . Exprimer l'événement [ ] en fonction de .
(c) En déduire que, pour tout :
LaTeX →
Word →
