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Ecricome Maths approfondies ECS 2018

Epreuve de maths approfondies - ECS 2018

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireSuites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Informatique
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Ecricome
Année
2018
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2018.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
db19170f-bc42-4609-80d5-6607548d7057

Marepared

Option Scientifique

Lundi 16 avril 2018 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure «Tiers-temps » :

L'énoncé comporte 6 pages.

CONSIGNES

Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

EXERCICE 1

On note l'espace vectoriel , muni du produit scalaire canonique.
Pour toutes matrices colonnes et de , on note .
Pour toute matrice colonne de , on note .
On considère et deux endomorphismes de , et on note et leurs matrices respectives dans la base canonique de .

Partie 1

Soit . On suppose dans cette partie uniquement que et que les matrices de et dans la base canonique sont respectivement :
  1. Vérifier que et sont des projecteurs.
    2.(a) Vérifier que les endomorphismes et sont tous de rang 1 .
    (b) Vérifier que le vecteur est un vecteur propre de .
    (c) Déterminer le spectre de .
    3.(a) Montrer que les valeurs propres de appartiennent à l'intervalle .
    (b) Pour quelle(s) valeur(s) de est-il un projecteur?

Partie 2

On revient dans cette partie au cas général, où désigne un entier tel que .
On suppose que et sont des projecteurs symétriques de et on pose : .
4. Montrer que pour tout :
En déduire que pour tout :
  1. Montrer que est diagonalisable dans .
  2. Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé.
    (a) Exprimer en fonction de et .
    (b) En déduire que les valeurs propres de sont réelles positives.
  3. Soit une (éventuelle) valeur propre de non nulle, et un vecteur propre associé.
    (a) Montrer que est un vecteur propre de . En déduire que est strictement positive.
    (b) Montrer que : . En déduire que : .
    (c) Montrer que : .
  4. Déduire des questions précédentes que le spectre de est inclus dans .

EXERCICE 2

On considère la suite définie par :
et on note la fonction définie sur par :
On pose enfin : .
  1. Vérifier que et que les réels et sont les solutions de l'équation : .
    2.(a) Montrer que est de classe sur .
    (b) Montrer que les seuls points critiques de sont et .
    (c) Étudier la nature des points critiques de .
  2. Montrer que, pour tout entier .
    4.(a) Recopier et compléter la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un entier , elle calcule et renvoie la valeur du terme de la suite .
function u=suite(n)
    v=0
    w=1
    for k=2:n
        ................
        .................
        .................
    end
    u=..................
endfunction
(b) Justifier qu'il existe des réels et , que l'on déterminera, tels que :
(c) En déduire que la suite converge et déterminer sa limite.
5. On considère pour tout .
(a) Montrer, sans chercher à calculer de somme, que la série de terme général converge.
(b) En déduire que la suite converge.
(c) En utilisant le résultat de la question 3, montrer que pour tout :
(d) Montrer que : .

PROBLÈME

Toutes les variables aléatoires dans ce problème sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté ( ).

Partie 1 - Variables vérifiant une relation de Panjer

On dit qu'une variable aléatoire , à valeurs dans vérifie une relation de Panjer s'il existe un réel et un réel tels que :
  1. On suppose dans cette question que , et que est un réel strictement positif.
    (a) Montrer que :
(b) Calculer . En déduire que suit une loi de Poisson de paramètre .
Préciser son espérance et sa variance.
2. On suppose dans cette question que et que .
(a) Montrer que :
(b) En déduire que suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre en fonction de .
3. On suppose dans cette question que suit une loi binomiale de paramètres et .
(a) Montrer que :
(b) En déduire que vérifie une relation de Panjer en précisant les valeurs de et correspondantes en fonction de et .
4. On revient dans cette question au cas général : est un réel vérifiant est un réel, et on suppose que est une variable aléatoire, à valeurs dans , vérifiant la relation de Panjer.
(a) Calculer . En déduire que .
(b) Montrer que pour tout entier :
(c) En déduire que est majorée, puis que admet une espérance.
Préciser alors la valeur de en fonction de et .
(d) Montrer que admet un moment d'ordre 2 et que :
(e) En déduire que admet une variance et préciser la valeur de en fonction de et .
(f) Montrer que si et seulement si suit une loi de Poisson.

Partie 2 - Fonction génératrice

On notera dans la suite :
où est une variable aléatoire à valeurs dans .
5. Montrer que pour tout réel de l'intervalle , la série est convergente.
On appelle alors fonction génératrice de la fonction définie sur par :
et on suppose dans cette partie que vérifie une relation de Panjer avec et que . On pose : .
On note enfin la fonction définie par :
  1. Montrer que pour tout :
  1. Soit .
    (a) Pour tout entier , montrer que :
(b) Vérifier que pour tout puis montrer que pour tout :
(c) En déduire que :
En calculant , exprimer en fonction de et , et vérifier que .

Partie 3 : formule de récursivité

On considère une suite de variables aléatoires de même loi, à valeurs dans , mutuellement indépendantes et indépendantes de la variable étudiée dans la question 4 de la partie 1 .
On considère alors la variable aléatoire définie par :
autrement dit :
  1. Calculer lorsque à l'aide de la partie 2 .
  2. (a) Calculer lorsque suit une loi de Poisson de paramètre .
    (b) On considère la fonction Scilab suivante, où est un paramètre dont dépend la loi commune :
function y=simulX(n)
    y=0 ;
    for i=1:n
        if rand()<1/2
            y=y+1;
        end
    end
endfunction
Quelle loi de probabilité est simulée par la fonction simulX? Préciser ses paramètres.
(c) On rappelle qu'en Scilab l'instruction grand(1,1,"poi", lambda) renvoie une réalisation d'une loi de Poisson de paramètre lambda.
On suppose que suit une loi de Poisson de paramètre , et que la loi des variables est celle simulée à la question précédente par la fonction simulX.
Recopier et compléter la fonction Scilab suivante, afin qu'elle renvoie une simulation de la variable aléatoire :
function s=simulS(lambda,n)
    N = grand(1,1,"poi", lambda)
    ........................
    .........................
    .........................
    .........................
    ........................
endfunction
  1. Dans la suite du problème, on revient au cas général où vérifie la relation de Panjer. On note toujours :
et on notera également :
Enfin, on considère pour tout entier , la variable aléatoire , en convenant qu'on a .
(a) Soit et . Montrer que :
Indication : on pourra considérer la somme .
(b) Justifier que :
(c) Déduire des deux questions précédentes que :
  1. Soit .
    (a) Montrer que :
(b) Montrer que :
(c) Justifier que:
(d) En déduire finalement que :
ECRICOME

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