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Ecricome Maths approfondies ECS 2010

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Intégrales généraliséesPolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesSéries et familles sommablesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Ecricome
Année
2010
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECS MathématiquesEcricome ECS 2010ECS MathématiquesMathématiques 2010

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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2010.

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CONCOURS D'ADMISSION 2010

Mathématiques
Option Scientifique

Mercredi 21 avril 2010 de 8h00 à 12h00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 9 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
EXERCICE 1
Pour tout entier , on considère les intégrales :
  1. Convergence de la suite .
    (a) Vérifier que :
En déduire que : .
Quelle est la limite de la suite ?
(b) En utilisant le changement de variable , établir que :

2. Résultats intermédiaires.

(a) Pour tout entier , calculer la limite suivante : .
(b) Soit un entier naturel non nul.
Prouver la convergence de l'intégrale .
(c) On introduit la fonction définie sur par: .
A l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange en 0 à l'ordre 1 appliquée à la fonction , montrer que :

3. Application.

(a) En utilisant la question 2, démontrer que :
(b) On considère l'intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
Donner alors un équivalent de puis un équivalent de en fonction de .

EXERCICE 2

Pour tout entier naturel , on note l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus . On considère l'application qui à un polynôme de associe le polynôme :
  1. Etude de . Soit un entier naturel fixé uniquement dans cette question.
    (a) Justifier que est un endomorphisme de .
    (b) Calculer puis pour .
Etablir alors que la matrice de dans la base canonique de est triangulaire.
(c) Prouver que est diagonalisable et que chacun de ses espaces propres est de dimension 1.
(d) Soit un vecteur propre de associé à la valeur propre .
Etablir que : .
En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire de degré tel que
Rappel : un polynôme unitaire est un polynôme dont le coefficient dominant vaut 1 .
2. Etude de la suite .
(a) En dérivant la relation , démontrer que :
En déduire que :
(b) Pourquoi peut-on affirmer que et ?
Calculer alors et .
(c) D'après ce qui précède, la suite satisfait à la relation de récurrence :
Ecrire un programme en Pascal calculant .
3. Application aux points critiques d'une fonction à trois variables.
On note l'ouvert de défini par :
ainsi que la fonction définie sur par :
. Soit .
(a) Etablir que est un point critique de si et seulement si est solution du système :
(b) On introduit le polynôme .
Montrer que est solution de si et seulement si admet pour racines .
(c) Prouver que si est un point critique de alors
puis que (cf. question 2.b).
Donner alors les points critiques de .
PROBLEME
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Une urne contient boules numérotées . On pioche indéfiniment les boules avec remise, chaque boule pouvant être piochée de façon équiprobable.
Pour tout entier , on note la variable aléatoire égale au « nombre de pioches nécessaires pour obtenir boules distinctes ». On convient que . On désigne par la variable aléatoire égale au « nombre de pioches nécessaires pour obtenir les boules numérotées ». Il est immédiat que .
Par exemple, en supposant que , si les boules piochées successivement portent les numéros:
alors on a: .
La partie établit certains résultats préliminaires qui seront utilisés dans d'autres parties.
La partie II se consacre à l'étude de la loi des variables discrètes afin d'en déduire l'espérance et la variance de la variable discrète .
La partie III détermine la loi de la variable puis étudie la distribution asymptotique de la variable autour de sa moyenne.
On note exp la fonction exponentielle définie par :

PARTIE I : Résultats préliminaires.

  1. Etude d'une suite.
On introduit la suite définie par : .
(a) Ecrire un programme Pascal permettant de calculer pour un entier donné.
(b) A l'aide d'un développement limité, justifier que . En déduire la nature de la série puis démontrer la convergence de la suite .
(c) Montrer que la suite converge (on ne demande pas le calcul de la limite).

2. Loi de Gumbel.

Soit une variable aléatoire continue. On suppose que suit la loi de Gumbel, c'est-à-dire que sa fonction de répartition est définie par :
(a) Vérifier que la fonction est bien une fonction de répartition puis que possède une densité que l'on précisera.
(b) On considère la variable aléatoire .
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire .
En déduire que la variable aléatoire suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres.
(c) Pour tout entier , montrer que l'intégrale est absolument convergente.
(d) En justifiant le changement de variable , démontrer que la variable admet un moment d'ordre valant:

PARTIE II : Etude de la variable

  1. Etude du cas .
On suppose uniquement dans cette question que , c'est-à-dire que l'urne ne contient que trois boules numérotées respectivement chacune pouvant être piochée avec la probabilité .
(a) Soit un entier naturel non nul.
Comparer les événements et : «les premières pioches fournissent des boules portant toutes le même numéro».
Calculer la probabilité . En déduire la probabilité puis donner la loi de la variable .
(b) Justifier que :
puis que :
En déduire la loi de la variable .
Dans toute la suite du problème, désignera un entier supérieur ou égal à 2.
2. Loi de pour .
(a) Justifier que :
(b) Démontrer que :
(c) En déduire que suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres puis établir que :
  1. Espérance et variance de .
    (a) Justifier que : .
En admettant que les variables sont indépendantes, vérifier que :
(b) A l'aide de la question I.1, prouver l'existence de deux réels et tels que :

PARTIE III : Loi de et de sa déviation asymptotique par rapport à sa moyenne.

Pour tout entier et tout entier naturel , on considère l'événement : «le numéro n'a pas été pioché durant les premières pioches».
  1. Loi de .
Soit un entier naturel non nul.
(a) Pour tout entier , calculer successivement :
  • la probabilité de l'événement ,
  • la probabilité de l'événement « numéros n'ont pas été piochés au cours des premières pioches».
    (b) Justifier que :
puis, en utilisant la formule du crible de Poincaré, démontrer que :
En déduire la loi de .
2. Comportement de au delà de sa moyenne.
(a) A l'aide d'une récurrence sur , montrer que, pour toute famille ( ) d'événements, on a :
(b) Démontrer que pour tout réel , on a : . En déduire que :
(c) Soit , on note la partie entière de , c'est-à-dire l'unique entier relatif tel que :
Comparer les événements « » et « ». En déduire que :
Ainsi on vient d'établir que :
qui peut se traduire ainsi : l'événement « est significativement supérieur à sa moyenne » est un événement asymptotiquement rare.
3. Distribution de autour de sa moyenne.
On introduit la suite de variables aléatoires définie par :
Soit un réel fixé, on note la partie entière du réel , c'est-à-dire l'unique entier relatif tel que :
(a) Justifier l'existence d'un rang tel que :
puis prouver l'égalité :
(b) Soit un entier naturel. A l'aide d'un développement limité, établir que :
(c) Démontrer que, pour tout entier , on a : .
En déduire que :
(d) En admettant que l'on a :
exprimer la valeur de la limite en fonction de (définie à la question I.2).
Quel résultat vient-on d'établir sur la suite de variables aléatoires ?

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