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Ecricome Maths approfondies ECS 2008

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

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Algèbre linéaireSuites et séries de fonctionsProbabilités continuesStatistiquesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Année
2008
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2008.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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347bfa12-7ce3-48af-b51d-f73789ff2974

1. EXERCICE.

Soit un vecteur unitaire de de coordonnées ( ) dans la base canonique de . On a donc .
On note le projecteur orthogonal sur la droite de vecteur directeur et le projecteur orthogonal sur .
Id désigne l'application identité de et . .
  1. Que vaut ?
  2. Exprimer, pour à l'aide de et de .
Calculer alors et .
En déduire les matrices et de et dans la base .
3. Soit l'endomorphisme de de matrice dans la base .
a. Montrer que :
b. Calculer .
En déduire que .
Déterminer l'image et le noyau de et les exprimer en fonction de .
c. Déduire de la question précédente la valeur de .
Montrer alors que est un polynôme annulateur de .
d. Quelles sont les valeurs propres de ?
est-il diagonalisable ?
4. Pour tout réel , on définit l'endomorphisme par :
où .
a. Pour et réels, calculer et montrer qu'il se met sous la forme avec réel.
b. En déduire que, pour tout réel est inversible et déterminer son inverse.

2. EXERCICE.

On considère, pour , la fonction définie sur par :
  1. a. Montrer que, pour tout réel positif , la série de terme général est convergente. On note sa somme.
    b. Calculer et .
  2. Montrer que, pour tout réel positif , la série de terme général est convergente. On note sa somme.
  3. Etude de la dérivabilité de .
    a. Soit la fonction définie sur par :
Soit . A l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que :
b. En déduire, pour et vérifiant , la nature de la série de terme général .
c. Montrer qu'il existe un réel tel que, pour et vérifiant ,
d. En déduire que est dérivable sur et que .
4. Recherche d'un équivalent en .
Soit .
a. Justifier que, pour ,
b. En déduire que, pour ,
c. En déduire que :
d. Déterminer un équivalent de quand tend vers .

3. PROBLEME.

L'objet du problème est la présentation d'une méthode probabiliste de calcul d'une intégrale (méthode de Monte-Carlo) et de deux façons de l'améliorer.
Dans tout le problème, désigne une variable aléatoire de loi uniforme sur une fonction continue sur et on pose .
L'espérance d'une variable aléatoire sera notée et sa variance (si elles existent).
On admet que, pour tout entier naturel non nul , si sont des variables aléatoires à densités, mutuellement indépendantes, alors des variables aléatoires de la forme où les sont des fonctions de dans , distinctes ou non, sont également mutuellement indépendantes.

3.1. Méthode de Monte-Carlo.

  1. a. Rappeler une densité de .
    b. Justifier que la variable aléatoire admet une espérance égale à .
  2. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que .
On suppose que et on note pour tout de .
a. Justifier que la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers .
b. Recherche d'un intervalle de confiance pour .
i. Justifier que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
ii. On considère pour " suffisamment grand " que suit une loi normale . On donne où désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déterminer un intervalle de confiance pour , au niveau de confiance , faisant intervenir .

3. Application :

a. A l'aide du changement de variable , montrer que .
b. i. Ecrire, en langage Pascal, une fonction , de paramètre , qui pour une valeur du paramètre renvoie la valeur .
ii. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur .
En utilisant le résultat de la question 3.1.2. et la fonction , les variables informatiques de type real et de type integer étant supposées définies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce qu'il calcule une valeur approchée de .
begin
    randomize ;
    readln(n);
    J := 0 ;
    for i := 1 to n do ....
    ............
    writeln (' une valeur approchée de pi est ', J );
end.

3.2. Réduction de la variance par variables antithétiques.

  1. Reconnaître la loi de .
On définit la variable aléatoire par . Que vaut ?
2. On suppose strictement croissante et on admet l'existence des espérances intervenant dans cette question.
a. Justifier que, pour tout ,
b. Soit une variable aléatoire de loi uniforme sur , indépendante de .
Quel est le signe de ?
En remarquant que et ont même espérance, en déduire que :
On admet que l'on obtiendrait le même résultat pour strictement décroissante.
c. Montrer alors que, lorsque est strictement monotone, .
3. Donner un nouvel intervalle de confiance pour au niveau de confiance , basé sur cette méthode.
On note la longueur de l'intervalle de confiance obtenu dans la partie 3.1 pour une valeur fixée de .
Avec cette nouvelle méthode, combien de tirages de la variable aléatoire uniforme suffit-il de faire pour obtenir la même longueur d'intervalle de confiance?

3.3. Réduction de la variance par stratification.

3.3.1. Etude d'une fonction de plusieurs variables.

On considère la fonction définie sur par :
  1. Justifier que est de classe sur . Calculer ses dérivées partielles d'ordre 1 et 2 .
  2. On note :
la matrice hessienne de en .
Justifier que, pour tout , pour toute matrice colonne à trois lignes, non nulle, on a :
  1. admet-elle des extremums sur ?
  2. On cherche désormais les extremums de sous la contrainte .
Montrer que admet un unique point critique sous cette contrainte, que l'on déterminera.
En écrivant l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 1, montrer qu'il s'agit d'un minimum global sous contrainte.

3.3.2. Méthode de stratification.

Soit et deux réels tels que . On définit les trois intervalles et par
et on considère quatre variables aléatoires indépendantes et , de lois uniformes respectivement sur et .
On définit la variable aléatoire par où désigne la fonction indicatrice d'un événement est donc la variable aléatoire définie, pour tout élément de l'univers par :
  1. A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout réel ,
En admettant que sont des variables aléatoires à densité, montrer que est elle-même une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité en fonction de densités de , que l'on pourra noter
et .
Vérifier, en prenant la fonction identité pour , que suit une loi uniforme sur .
2. Déduire de ce qui précède que:
  1. On tire de façon indépendante, uniforme sur chacun des intervalles, points dans points dans points dans . On considère donc la famille de variables aléatoires indépendantes telles que :
  • ont même loi que ,
  • ont même loi que ,
  • ont même loi que ,
    et on note la variable aléatoire définie par:
Montrer que :
  1. Application numérique :
On suppose que, pour un certain choix de la fonction et des réels et , on a
On suppose que l'on tire 110 points, de façon indépendante, uniforme sur chacun des intervalles ( points dans points dans points dans ). Quelles valeurs faut-il donner à pour que fournisse une estimation de avec le plus petit risque d'erreur possible suivant cette méthode?

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