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Ecricome Maths approfondies ECS 2006

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Ecricome
Année
2006
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2006.

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MATHEMATIQUES

Option SCIENTIFIQUE

Mercredi 19 avril 2006 de 8 h 00 à 12 h 00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps": 8 h 00-13 h
Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.
L'énoncé comporte 7 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes, mais brèves, de leurs affirmations.

1. EXERCICE.

On considère l'espace vectoriel euclidien muni de son produit scalaire canonique et on note la base canonique de .
Pour tout on a donc :
où et désignent les matrices colonnes des coordonnées de et dans la base .
Si est un sous-espace vectoriel de désigne le supplémentaire orthogonal de dans .
On note l'ensemble des endomorphismes de et Id l'application identité de . Pour endomorphisme de , de matrice dans la base canonique, on note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .

1.1. Quelques propriétés de .

Dans cette question est un endomorphisme de .
  1. Montrer que:
  1. Montrer que est le seul endomorphisme de vérifiant :
  1. Soit un sous espace vectoriel de stable par (c'est-à-dire tel que ).
    a. Pour et calculer .
    b. En déduire que est stable par .

1.2. Réduction des matrices d'un ensemble .

On désigne par l'ensemble des endomorphismes de dont la matrice dans la base est de la forme
où .
  1. Montrer que est un sous espace vectoriel de .
  2. Montrer que pour tout appartient à .
  3. On note et la droite de vecteur directeur .
    a. Montrer que est un vecteur propre commun aux éléments de .
    b. En déduire que, pour tout est stable par .
    c. Déduire des questions précédentes que, pour tout est stable par .
    d. Déterminer une équation de .
    e. Montrer que ( ) est une base orthonormale de et que est une base orthonormale de .
    f. Justifier alors que la matrice de dans la base est de la forme
où sont des réels.

2. EXERCICE.

On considère la fonction des deux variables réelles , définie par :
  1. Etude de .
    a. Justifier que est de classe sur .
    b. Pour , calculer
c. Montrer que pour ,
  1. Montrer que pour tout réel a strictement positif, l'intégrale
est convergente.
En déduire que pour tout réel positif, les intégrales suivantes sont convergentes :
  1. On considère la fonction définie sur par
a. Sans chercher à calculer la dérivée de , montrer que est croissante sur .
b. Soit .
Montrer que pour ,
c. En déduire que pour ,
d. Montrer que est dérivable sur et que est définie par
Retrouver le sens de variations de .

3. PROBLEME.

On effectue une succession infinie de lancers indépendants d'une pièce donnant Pile avec la probabilité et Face avec la probabilité .
On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté.
On dit que la première série est de longueur si les premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le è l'autre côté.
De même la deuxième série commence au lancer suivant la fin de la première série et se termine
(si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté.
On définit de même les séries suivantes.
désigne l'ensemble des successions infinies de Pile ou Face.
Pour , on note l'événement "le lancer amène Pile" et l'événement contraire.
Les trois parties sont indépendantes.

3.1. Etude des longueurs de séries.

  1. On note la longueur de la première série.
Exprimer l'événement ( ) à l'aide des événements et pour entier naturel variant entre 1 et .
En déduire que
Vérifier que
  1. On note la longueur de la deuxième série.
    a. Exprimer l'événement à l'aide des événements et pour entier naturel variant entre 1 et puis calculer la probabilité de l'événement .
    b. En déduire que, pour ,
On admet que
c. Montrer que la variable aléatoire admet une espérance égale à 2 .

3.2. Etude du nombre de séries lors des premiers lancers.

On considère dans toute cette partie que la pièce est équilibrée, c'est-à-dire que . On note le nombre de séries lors des premiers lancers :
-La première série est donc de longueur si les premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le è l'autre côté et de longueur si les premiers lancers ont amené le. même côté de la pièce ;
-La dernière série se termine nécessairement au lancer.
Par exemple, si les lancers successifs donnent : FFPPPPFFPPP... (F désignant Face et P Pile), on a pour the telle succession ,
les données précédentes ne permettant évidemment pas de déterminer .
On admettra que est une variable aléatoire sur ( ).
  1. Déterminer les lois de et et donner leurs espérances.
  2. Dans le cas général où , déterminer (ensemble des valeurs prises par ) puis calculer les valeurs de et .
  3. Simulation informatique:
Pour on note la variable aléatoire qui vaut 1 lorsque le me lancer amène Pile et 0 sinon.
On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random(2) simule une variable aléatoire de loi uniforme sur (soit une loi de Bernoulli de paramètre ). Compléter le programme informatique suivant pour que, étant une valeur entière, inférieure à 100 , entrée par l'utilisateur, il simule les variables aléatoires (dont les valeurs seront placées dans le tableau X ) et détermine les valeurs de (qui seront stockées dans le tableau N ).
•
program simulation;
const nmax=100;
type suite=array[1..nmax]of integer;
var X, N: suite;
    m: integer;
begin
readln(m);
randomize;
X[1]:=...; N[1]:=...;
for i:=2 to m do begin
        X[i]:=...
        .....
        .....
        end;
end.
  1. Fonction génératrice de .
On pose, pour et pour ,
a. Pour , comparer l'espérance de la variable aléatoire avec .
b. Que représente ?
c. Montrer que pour tout et tout on a
On admet que l'on obtiendrait de même
Montrer alors que
d. Soit . Montrer que
Calculer et en déduire que
e. Déterminer le nombre moyen de séries dans les premiers lancers.

3.3. Probabilité d'avoir une infinité de fois deux Pile consécutifs.

  1. Montrer que pour tout réel on a
  1. On considère dans cette question une suite d'événements indépendants. On suppose que la série de terme général diverge.
    Soit fixé. Pour , on note
a. Justifier que
b. Montrer que
puis, en utilisant 3.3.1, que

En déduire que

c. Comparer pour l'inclusion les événements et . Que peut-on en déduire pour

d. Justifier que

et en déduire que
  1. En considérant les événements "on obtient Pile au ( ) ème et au ( ) ème lancers", montrer que la probabilité d'avoir deux Pile consécutifs après n'importe quel lancer vaut 1.

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