lundi 28 avril 2003 de 8 h 00 à 12 h 00
durée : 4 heures
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L'énoncé comporte 8 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.
1. EXERCICE.
On considère la suite de nombres réels définie par la relation de récurrence :
1.1. Convergence de .
Montrer que cette suite est strictement positive et monotone.
Montrer que cette suite diverge vers l'infini.
1.2. Comportement asymptotique de .
On définit la suite par :
Prouver que pour tout entier de :
En déduire que quels que soient les entiers naturels et :
En déduire que quels que soient les entiers naturels et :
Démontrer que la suite est majorée, puis qu'elle converge vers une limite notée .
Montrer que :
En passant à la limite pour fixé dans l'encadrement 1.2 .2 , montrer que :
En déduire, lorsque tend vers l'infini, l'équivalent suivant :
On pose :
Montrer que la suite est bornée et qu'elle vérifie la relation suivante :
Prouver enfin que lorsque tend vers l'infini :
2. EXERCICE.
Dans cet exercice, on adopte les notations suivantes : : ensemble des matrices carrées d'ordre , à coefficients réels ( entier naturel non nul). : le sous-espace vectoriel de des matrices symétriques. : le sous-espace vectoriel de des matrices antisymétriques.
On rappelle qu'une matrice de est antisymétrique si :
étant la matrice transposée de .
On définit les applications et par :
Pour toute matrice et de
Montrer que est une application linéaire de dans qui vérifie :
Prouver que est surjective. Donner la dimension du noyau de .
Prouver que définit un produit scalaire dont la norme associée, ||||, vérifie :
Etablir que :
Démontrer que et sont deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux de pour .
Soit . En déduire que pour toute matrice de ,
3. PROBLEME.
On rappelle que :
La fonction est la fonction définie pour par :
Si suit une loi normale et si est un réel non nul alors suit également une loi normale.
On admettra que .
3.1.
On considère la variable aléatoire , où sont variables aléatoires indépendantes, suivant toutes une loi normale centrée réduite.
Déterminer la fonction de répartition de .
En déduire que est une variable aléatoire qui suit une loi gamma dont on précisera les paramètres.
Justifier que suit une loi gamma de paramètres .
Donner les valeurs de l'espérance et de la variance de .
On dit alors que suit une loi du - deux à degrés de liberté, notée . Soient la fonction de répartition de et un réel dans l'intervalle .
Montrer qu'il existe un réel unique tel que . Ce réel est alors noté
Dans la suite du problème on considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une même loi normale . L'objet des questions suivantes est de déterminer une estimation ponctuelle (3.2) puis une estimation par intervalle de confiance (3.3 et 3.4) de la variance .
Si est une fonction de variables réelles, et que , on rappelle que :
est un estimateur de est un estimateur de lorsque :
L'estimateur est dit sans biais lorsque pour tout entier naturel non nul :
L'estimateur est dit convergent lorsque :
3.2. Estimation ponctuelle de .
Pour entier naturel non nul, on pose :
Montrer que est un estimateur convergent sans biais de .
Soit un entier naturel non nul.
a. Démontrer que :
puis que :
b. Prouver que :
c. En déduire un estimateur sans biais de .
3.3. Estimation par intervalle de confiance de étant connue.
Pour entier supérieur à 2 , on pose :
Justifier que suit une loi du à degrés de liberté.
Montrer l'égalité des événements :
En déduire que la probabilité de l'événement est .
3.4. Estimation par intervalle de confiance de étant inconnue.
désigne l'ensemble des matrices à lignes et 1 colonne à coefficients réels et l'identité de .
Pour entier supérieur à 2 , on pose :
Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est définie par :
et la matrice de dont tous les éléments sont égaux à 1 .
a. Justifier que est une matrice diagonalisable.
b. Calculer le produit , en déduire une valeur propre de et un vecteur propre de associé à cette valeur propre.
c. Montrer que :
d. En déduire la dimension de , les valeurs propres et les sousespaces propres de la matrice .
e. Soit la matrice des coordonnées d'un vecteur propre associé à la valeur propre . Prouver que : .
f. Justifier l'existence d'une matrice inversible dont la dernière colonne est proportionnelle à et d'une matrice diagonale que l'on déterminera, telle que :
(On ne demande pas la matrice ).
g. On note les coefficients de la matrice , montrer que :
puis que :
Soit l'application de dans définie par :
a. On pose , montrer que:
puis que :
b. En utilisant l'écriture , montrer que:
Pour tout de l'ensemble on pose:
a. Justifier que suit une loi normale puis montrer que et .
b. En utilisant les résultats de la question 3.4.2, montrer que :
c. En admettant que les sont mutuellement indépendantes, justifier que suit une loi du à degrés de liberté.
d. Montrer que les événements :
sont égaux.
e. En déduire que la probabililité de l'événement :
LaTeX →
Word →