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Ecricome Maths appliquees ECE 2016

Epreuve de maths appliquees - ECE 2016

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Algèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Informatique
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Ecricome
Année
2016
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2016ECE MathématiquesMathématiques 2016

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Description

Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2016.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
28895c34-03c2-4594-b885-9cce0eb9e4b6
prepa
Mathématiques
Option Économique

Mercredi 20 avril 2016 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 5 pages.

CONSIGNES

Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, vous devez le restituer aux examinateurs à la fin de la session ou le laisser sur table selon la consigne donnée dans votre centre d'écrits.

EXERCICE 1

Partie A

Pour tout couple de réels , on définit la matrice par :
On appelle l'ensemble des matrices où et décrivent :
On note et .
  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de . En déterminer une base et donner sa dimension.
  2. Montrer que 1,2 et 3 sont valeurs propres de et déterminer les espaces propres associés. est-elle diagonalisable?
  3. Déterminer une matrice inversible de dont la première ligne est ( ), et telle que :
ù
  1. Déterminer (faire figurer le détail des calculs sur la copie).
  2. En notant et les trois vecteurs colonnes formant la matrice , calculer et . En déduire l'existence d'une matrice diagonale que l'on explicitera telle que :
  1. En déduire que pour tout , il existe une matrice diagonale de telle que :
  1. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur ( ) pour que soit inversible.
  2. Montrer que est un élément de . La matrice est-elle aussi un élément de ?

Partie B

On souhaite dans cette partie étudier les suites et définies par les conditions initiales , et les relations de récurrence suivantes:
Pour tout , on pose .
  1. Que vaut ?
  2. Déterminer une matrice telle que pour tout , on ait :
Déterminer ensuite deux réels et tels que .
3. Montrer que, pour tout .
4. À l'aide des résultats de la partie A , exprimer et en fonction de .

EXERCICE 2

  1. Pour tout , on définit la fonction par :
(a) Étudier les variations de la fonction , définie sur par : .
Préciser la limite de en , donner l'équation de la tangente en 0 , et donner l'allure de la courbe représentative de .
(b) Pour , justifier que est dérivable sur et montrer que :
En déduire les variations de la fonction lorsque .
Calculer soigneusement .
(c) Montrer que, pour admet un maximum sur qui vaut :
et déterminer .
(d) Montrer enfin que pour tout :
  1. On pose pour tout :
(a) Montrer que l'intégrale est convergente et la calculer.
(b) Montrer que pour tout entier , l'intégrale est convergente.
(c) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
(d) En déduire que :
  1. Pour tout , on définit la fonction par :
(a) Montrer que pour tout est une densité de probabilité.
On considère à présent, pour tout une variable aléatoire réelle admettant pour densité. On notera la fonction de répartition de .
(b) La variable aléatoire admet-elle une espérance?
(c) Que vaut pour et ?
(d) Calculer pour .
(e) Soit et . Montrer que :
(f) En déduire une expression de pour et faisant intervenir une somme (on ne cherchera pas à calculer cette somme).

ECRICOME

(g) Pour fixé, déterminer la limite de lorsque tend vers .
(h) La suite de variables aléatoires converge-t-elle en loi ?
4. Pour tout , on note .
(a) Justifier que est bien définie. Quelles sont les valeurs prises par ?
(b) Justifier que admet une espérance et la calculer.
(c) Justifier que admet une variance et la calculer.
(d) On note la fonction de répartition de . Montrer que :
(e) Montrer que est une variable aléatoire à densité et donner une densité de .
(f) Reconnaître la loi de . À l'aide de ce qui précède, déterminer le moment d'ordre de pour tout .

EXERCICE 3

Dans tout l'exercice, et sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé et à valeurs dans . On dit que les deux variables et sont échangeables si :

Résultats préliminaires

  1. On suppose que et sont deux variables indépendantes et de même loi.
Montrer que et sont échangeables.
2. On suppose que et sont échangeables. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que :

Étude d'un exemple

Soient et trois entiers strictement positifs.
Une urne contient initialement boules noires et boules blanches. On effectue l'expérience suivante, en distinguant trois variantes.
  • On pioche une boule dans l'urne.
On définit la variable aléatoire qui vaut 1 si cette boule est noire et 2 si elle est blanche.
  • On replace la boule dans l'urne et :
  • Variante 1 : on ajoute dans l'urne boules de la même couleur que la boule qui vient d'être piochée.
  • Variante 2 : on ajoute dans l'urne boules de la couleur opposée à celle de la boule qui vient d'être piochée.
★ Variante 3 : on n'ajoute pas de boule supplémentaire dans l'urne.
  • On pioche à nouveau une boule dans l'urne.
On définit la variable aléatoire qui vaut 1 si cette seconde boule piochée est noire et 2 si elle est blanche.
3. (a) Compléter la fonction Scilab suivante, qui simule le tirage d'une boule dans une urne contenant boules blanches et boules noires et qui retourne 1 si la boule tirée est noire, et 2 si la boule tirée est blanche.
function res = tirage( b , n )
    r = rand()
    if ........... then
        res = 2
    else
        res = 1
    end
endfunction
(b) Compléter la fonction suivante, qui effectue l'expérience étudiée avec une urne contenant initialement boules blanches, boules noires et qui ajoute éventuellement boules après le premier tirage, selon le choix de la variante dont le numéro est variante.
Les paramètres de sortie sont :
  • x : une simulation de la variable aléatoire
  • y : une simulation de la variable aléatoire 
function [ x , y ] = experience ( b , n , c , variante )
    x = tirage ( b , n )
    if variante == 1 then
        if x == 1 then
            ............
        else
            .... . . . . . . .
        end
    else if variante == 2 then
        ............
        ............
        ............
        ............
        ............
    end
    y = tirage ( b , n )
endfunction
(c) Compléter la fonction suivante, qui simule l'expérience fois (avec ), et qui estime la loi de , la loi de et la loi du couple ( ).
Les paramètres de sortie sont :
  • loiX : un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime
  • loiY : un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime
  • loiXY : un tableau bidimensionnel à deux lignes et deux colonnes qui estime :
function [ loiX, loiY , loiXY ] = estimation(b,n,c,variante,N)
    loiX = [ 0 , 0 ]
    loiY = [ 0 , 0 ]
    loiXY = [ 0 , 0 ; 0 , 0 ]
    for k = 1 : N
        [x , y] = experience( b , n , c , variante )
        loiX(x) = loiX(x) + 1
        ...........
        ...........
    end
    loiX = loiX / N
    loiY = loiY / N
    loiXY = loiXY / N
endfunction
(d) On exécute notre fonction précédente avec et dans chacune des variantes. On obtient :
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,1,10000)
    LoiXY =
        0.49837 0.16785
        0.16697 0.16681
    LoiY =
        0.66534 0.33466
    LoiX =
        0.66622 0.33378
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,2,10000)
    LoiXY =
        0.33258 0.33286
        0.25031 0.08425
    LoiY =
        0.58289 0.41711
    LoiX =
        0.66544 0.33456
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,3,10000)
    LoiXY =
        0.44466 0.22098
        0.22312 0.11124
    LoiY =
        0.66778 0.33222
    LoiX =
        0.66564 0.33436
En étudiant ces résultats, émettre des conjectures quant à l'indépendance et l'échangeabilité de et dans chacune des variantes.
On donne les valeurs numériques approchées suivantes :
  1. On se place dans cette question dans le cadre de la variante 1.
    (a) Donner la loi de .
    (b) Déterminer la loi du couple .
    (c) Déterminer la loi de .
    (d) Montrer que et sont échangeables mais ne sont pas indépendantes.

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