Ecricome Maths appliquees ECE 2013

Mathématiques Option Economique

EXERCICE 1

1. Montrer que (la dérivée de ) admet deux racines réelles distinctes avec que l'on précisera.
2. Dresser le tableau de variations de en y ajoutant les valeurs de en et .
3. Justifier que admet trois racines . avec . On ne cherchera pas à calculer ces racines.
4. Soit un réel, calculer puis démontrer que est un vecteur propre de associé à la valeur propre si et seulement si .
5. Etablir l'existence d'une matrice inversible et d'une matrice diagonale telles que . Expliciter les matrices et en fonction des réels .
6. Prouver que est une application linéaire et que:

EXERCICE 2

I. Etude des zéros de .

1. Déterminer la limite de lorsque tend vers 0 par valcurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
2. Déterminer la limite de lorsque tend vers , ainsi que la limite de lorsque tend vers . Interpréter graphiquement cette limite.
3. Justifier la dérivabilité de sur et déterminer sa dérivée.
4. Dresser le tableau de variation de en faisant apparaître les limites de en et .
5. Pronver l'existence d'un unique réel tel que :

II. Etude d'une suite réelle.

1. Démontrer que pour tout entier existe et .
2. Si cette suite est convergente de limite . que peut valoir ?
3. Prouver que la suite est strictement croissante.
4. La suite est-elle convergente ?
5. Soit un réel. Recopier et compléter le programme suivant afin quil affiche le plus petit entier tel que :

program ecricome2013 ;
var ın : integer ;
        u : real ;
        A : real :
    function \(\mathrm{g}(\mathrm{x}\) : real \()\) : real ;
    begin
    g :=
    end:
begin
        writeln('entrer un réel \(\mathrm{A}>0^{\prime}\) ):
        readln(A) ;
        \(\mathrm{u}:=\exp (1): \mathrm{n}:=0\);
        while ................ do
            begin
                .................;
                ..................;
            end ;
writeln( .................) :
end.

1. Justifier que est de classe sur l'ouvert .
2. Calculer les dérivées partielles premières et prouver que possède un unique point critique noté d'abscisse et d'ordonnée à déterminer en fonction de .
3. Calculer les dérivées partielles secondes sur et établir que

4. La fonction présente-t-elle un extremum local en sur l'ouvert ? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).

EXERCICE 3

• A a effectué deux tirages, il a retiré une boule noire puis une boule blanche de l'urne :
• l'urne contient maintenant 8 boules dont deux noires et six blanches :
• B a effectué ensuite cinq tirages dans cette urne, il a pioché 4 boules noires qu'il a reposé dans l'urne après chaque tirage puis il a pioché une boule blanche :
• vaut 1 et vaut 4.

I. Etude d'un cas particulier .

1. Donner les probabilités des événements : .
2. En déduire l'espérance et la variance de .
3. Montrer que la probabilité de l'événement est donnée par :

4. Pour tout entier i naturel non nul, déterminer les probabilités suivantes :

5. En déduire la loi de . Uniquement à l'aide de l'expression de ) en fonction de . vérifier que:

6. Montrer que admet une espérance et la calculer.

II. Retour au cas général.

1. Pour tout , calculer la probabilité puis vérifier que :

2. Utiliser la question qui précède pour justifier que :

3. Soient et . Comparer et puis justifier que :

4. A l'aide des questions précédentes, montrer que l'espérance de la variable est donnée par:

6. Pour tout de , et pour tout entier , non nul, justifier que la série est convergente et déterminer sa somune.
7. Montrer que admet une espérance et vérifier que :