Ecricome Maths appliquees ECE 2005
Epreuve de maths appliquees - ECE 2005
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementEquations différentiellesInformatique
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2005.
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ECRICOME 2005 Option Economique
1 EXERCICE
On considère, pour tout entier naturel
ainsi que l'intégrale :
On se propose de démontrer l'existence de trois réels,
- Calculer
. - Etudier la monotonie de la suite
. - Déterminer le signe de
pour tout entier naturel - Qu'en déduit-on pour la suite
- Majorer la fonction
sur [ 0,1 ] - En déduire que :
- Déterminer la limite de la suite
lorsque tend vers l'infini. - A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
- En déduire la limite de la suite
lorsque tend vers l'infini. - Déterminer la limite de la suite
lorsque tend vers l'infini. - Donner alors les valeurs de
.
2 EXERCICE.
On considère la fonction
le tableau de valeurs de
|
|
0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 |
|
|
|
0 | 0,6 | 1,6 | 3 | 4,7 | 6,9 | 9,5 |
ainsi que les fonctions
2.1 Etude de deux suites associées à
- Montrer que
est continue sur . - Etudier la dérivabilité de la fonction
en 0 . En donner une interprétation graphique. - Etudier la convexité de
sur , puis dresser son tableau de variations en précisant la limite de lorsque tend vers l'infini. - Etudier la nature de la branche infinie.
- Montrer que
réalise une bijection de sur un intervalle que l'on précisera. - Quel est le sens de variation de
? Déterminer la limite de lorsque tend vers l'infini. - Justifier que pour tout entier naturel
, il existe un unique réel positif tel que :
a) Donner la valeur de
b) Utiliser le tableau de valeurs de
c) Exprimer
8. On définit la suite (
b) Utiliser le tableau de valeurs de
c) Exprimer
8. On définit la suite (
a) Etudier les variations de
b) On donne
c) En étudiant les variations de
b) On donne
c) En étudiant les variations de
d) Montrer que les équations
e) Montrer successivement que pour tout entier
f) En déduire la limite de la suite (
2.2 Recherche d'extremum éventuel de
- Calculer les dérivées partielles premières de la fonction
. - Montrer que si
admet un extremum local en de alors :
En déduire que nécessairement :
et donc que le seul point où
3. Calculer les réels :
3. Calculer les réels :
- La fonction
admet-elle un extremum local sur ?
3 EXERCICE
On effectue une suite de lancers d'une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu'à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité
On s'intéresse dans cet exercice à l'apparition de deux piles consécutifs.
Pour tout entier naturel
On définit alors la suite
On s'intéresse dans cet exercice à l'apparition de deux piles consécutifs.
Pour tout entier naturel
On définit alors la suite
- Pour tout entier naturel
non nul : - avec la convention
3.1 Encadrement des racines de l'équation caractéristique.
On considère la fonction polynomiale
- Montrer que l'équation
possède deux racines réelles distinctes et . Exprimer en fonction de et . - Calculer
. - En déduire l'encadrement suivant :
3.2 Equivalent de
- Déterminer
et en fonction de et . - En remarquant que l'événement
est réalisé si et seulement si :
- on a obtenu pile au premier tirage, face au deuxième tirage, et à partir de ce moment,
est réalisé
ou - on a obtenu face au premier tirage, et à partir de ce moment,
est réalisé.
montrer que l'on a, pour tout entier naturel,
- Ecrire un programme, en langage Pascal, permettant de calculer
, l'entier , les réels et étant donnés par l'utilisateur. - Montrer que pour tout entier, naturel
,
- Donner un équivalent de
lorsque tend vers plus l'infini.
3.3 Expression de
On définit les matrices
ainsi que les matrices unicolonnes
- Vérifier que pour tout entier naturel
:
- Montrer que les matrices
et ne sont pas inversibles. ( désigne la matrice carrée unité d'ordre 2). - En déduire que
est diagonalisable. - Montrer que
est inversible et déterminer . - Calculer la matrice
. (Les coefficients de la matrice seront exprimés en fonction de et seulement). - Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel
:
- Retrouver ainsi l'expression de
en fonction de et .
3.4 Etude du temps d'attente du premier double pile.
On désigne par
Ainsi, pour tout entier naturel
Ainsi, pour tout entier naturel
- Montrer que
est une variable aléatoire, c'est-à-dire que :
- Prouver que
admet une espérance et que:
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