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BCE Maths approfondies HEC ECS 2003

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesRéductionSéries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2003ECS MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2003.

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HEC 2003. Math1 option scientifique.

NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D'UN NUAGE

Dans tout le problème et désignent des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 et on pose .
L'espace est muni de sa structure euclidienne canonique ; la norme euclidienne d'un vecteur de est notée ; le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté .
Si est un vecteur non nul appartenant à désigne la droite vectorielle engendrée par et si est un vecteur de est le projeté orthogonal de sur la droite .
Si est un sous-espace vectoriel de , le supplémentaire orthogonal de dans est noté . Pour toute matrice appartenant à on note l'application linéaire de dans définie par : .
Pour tout appartenant à et toute famille de vecteurs de , est le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs .
Si est une fonction définie sur un sous-espace vectoriel de et à valeurs dans , on désigne par ou et le maximum, lorsqu'il existe, de la fonction sur l'ensemble des vecteurs de dont la norme est égale à 1 .

Partie I: Étude d'un exemple

Dans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose que . On note ( ) la base canonique de .
  1. On considère les vecteurs et appartenant à et dont les coordonnées dans la base ( ) sont respectivement .
    On considère un réel et on note, pour tout appartenant à le projeté orthogonal de sur la droite vectorielle engendrée par .
    a) Calculer en fonction de la quantité : .
    b) Déterminer la valeur de pour laquelle cette quantité atteint son maximum; ce maximum est noté .
  2. Soit la matrice .
    a) Vérifier que est une valeur propre de étant un vecteur propre associé à .
    b) Déterminer l'autre valeur propre de et la comparer à .

Partie II: Les axes principaux d'inertie d'un nuage

Les notations introduites dans cette partie seront utilisées dans toute la suite du problème.
On définit la matrice appartenant à appelée nuage; ses colonnes sont appelées points du nuage; est donc un nuage de points dans un espace de dimension .
On définit la matrice .
On appelle le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs colonnes et on suppose que et .
Pour tout vecteur non nul de , on pose ; cette quantité s'appelle l'inertie du nuage sur la droite .
Pour tout couple de vecteurs appartenant à , on pose: .
1)a) Montrer que la matrice est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls.
On note les valeurs propres de et on suppose que Justifier l'existence d'une base orthonormale de telle que:
b) - Montrer que le noyau de est égal à celui de .
  • En déduire que le rang de est égal à .
  • Montrer que: .
  • Que peut-on dire de ?
  • Montrer que est une base de .
    2)a) Montrer, pour tout vecteur de norme 1 appartenant à , l'égalité: .
    b) Déterminer, pour tout appartenant à à l'aide des nombres
    c) On définit les sous-espaces vectoriels de par :
  • Montrer que : .
  • Montrer que : et et .
  • Montrer que : et .
  1. Soit un vecteur unitaire de tel que et . Montrer que appartient à .
  2. On suppose dans cette question que sont vecteurs de norme 1 appartenant à et que sont sous-espaces vectoriels de tels que

    Les droites vectorielles sont appelées axes principaux d'inertie du nuage.
    a) Vérifier que est une base orthonormale de et que est une base orthonormale de .
    b) Montrer que pour tout couple de vecteurs ( ) appartenant à :
c) On se donne deux vecteurs et , unitaires, orthogonaux et appartenant à .
Pour tout réel , on pose .
  • Exprimer à l'aide de et .
  • Montrer que est majorée sur et qu'elle admet un maximum.
  • On suppose que le maximum de est atteint en 0 . Montrer que .
    d) - Montrer que pour tout appartenant à dès que .
  • Déterminer la forme de la matrice de dans la base .
  • En déduire que pour tout est un vecteur propre de associé à .
  1. Dans le langage des statisticiens les colonnes de représentent des individus d'une population statistique où variables statistiques ont respectivement pris les valeurs , valeurs fixées de telle sorte que leur moyennes sont nulles, c'est à dire : .
    Calculer la covariance des variables et lorsque et appartiennent à puis comparer la matrice et la matrice

Partie III: Une décomposition de la matrice

Pour tout on note la matrice dans la base canonique de , de la projection orthogonale de sur ; les vecteurs ont été définis au II.1.a.
  1. Montrer que : , (où est la matrice appartenant à dont tous les éléments sont nuls excepté les éléments diagonaux qui valent 1).
  2. Déterminer pour tout tel que .
  3. Calculer pour tout et en déduire que : .
  4. Pour tout , on pose .
    a) Montrer que : .
    b) Calculer pour tout et déterminer le rang de .

Partie IV: Une norme euclidienne de matrices carrées

Pour tout entier naturel q non nul et toute matrice, carrée appartenant à , on pose .
On sait que tr définit une application linéaire de dans et que si et appartiennent respectivement à et alors . On sait également que si deux matrices et sont semblables alors .
Pour tout et appartenant à on pose : .
  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
Pour toute matrice appartenant à , on note , appelé ici norme euclidienne de .
2) Calculer pour tout . On distinguera les cas et , et on exprimera les résultats en fonction des nombres .
3) Calculer en fonction de , pour tout appartenant à .

Partie V: La meilleure approximation du nuage

On rappelle que si et sont deux sous-espaces vectoriels de , alors :
On considère un entier naturel appartenant à et une matrice appartenant à telle que .
  1. Justifier rapidement l'existence d'une base orthonormale ( ) de formée de vecteurs propres de . On note les valeurs propres de associées respectivement aux vecteurs et on suppose que .
  2. Soit un entier appartenant à et un sous-espace de de dimension supérieure ou égale à .
    a) Montrer que: .
    b) En déduire qu'il existe un vecteur unitaire appartenant à tel que .
    c) On considère l'espace vectoriel .
  • Montrer que : .
  • En déduire : .
    3)a) Montrer que : .
    b) En déduire que : .
    c) En déduire que réalise la meilleure approximation de par des matrices de rang inférieur ou égal à au sens de la norme euclidienne définie plus haut sur .
  1. Soit un sous-espace vectoriel de . On note la projection orthogonale de sur , sa matrice dans la base canonique de et .
    La quantité s'appelle l'inertie du nuage sur le sous-espace , et dans le cas où est l'inertie totale du nuage .
    a) Montrer que : .
    b) Montrer que : .
    c) On suppose toujours que est un entier appartenant à et .
  • Montrer que : .
  • Montrer que est le maximum des nombres , lorsque parcourt l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dont la dimension est inférieure ou égale à .
    d) On suppose dans cette question que appartient à , on ne suppose donc plus que .
    Montrer que est le maximum des nombres , lorsque parcourt l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dont la dimension est inférieure ou égale à .

Partie VI: Non multa, sed multum

Dans cette partie, on propose une interprétation pratique des résultats théoriques précédents à propos d'une enquête de consommations.
On a étudié les « consommations » annuelles de 8 denrées alimentaires (ce sont les 8 variables statistiques , ( ) que l'on suppose centrées), par différentes catégories socioprofessionnelles, à savoir : celles des exploitants agricoles (AGRI) représentées par la colonne , des salariés agricoles (SAAG( )), des professions indépendantes (PRIN ), les cadres supérieurs , des cadres moyens , des employés , des ouvriers ( ), des inactifs ( ). Dans notre exemple un individu est donc une catégorie socio-professionnelle.
On a consigné les résultats de l'enquête dans une matrice . Par exemple représente la consommation moyenne de la denrée 1 par la catégorie SAAG.
Les valeurs propres de la matrice sont approximativement et 0 associées respectivement à .
  1. Quelle part de l'inertie totale est contenue dans l'inertie du nuage de points sur le sous-espace de base ( ).
On a représenté dans le dessin ci-contre les projetés orthogonaux dans le plan de base des 8 individus , c'est-à-dire des 8 colonnes représentant les consommations moyennes de chaque catégorie socio-professionnelle.
2) Que représente le nuage de points du
dessin pour le nuage de l'enquête?

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