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BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECS 2019

Epreuve de maths approfondies - ECS 2019

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionProbabilités continuesIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
BCE
Année
2019
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2019ECS MathématiquesMathématiques 2019

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECS, session 2019.

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Conception : HEC Paris - ESSEC BS

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 30 avril 2019, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le problème comporte cinq parties.
Dans les trois premières parties, on étudie des propriétés usuelles des matrices où .
Dans la quatrième partie, on définit la racine carrée d'une matrice symétrique réelle dont les valeurs propres sont strictement positives, afin d'obtenir une décomposition d'une matrice .
Dans la cinquième partie, on applique ce qui précède au calcul de la distance d'une matrice à l'ensemble des matrices orthogonales de .
Dans tout le problème :
  • désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
  • désigne la base canonique de .
  • Si est un vecteur de , on lui associe la matrice
de ses coordonnées dans la base .
  • est le produit scalaire canonique sur et la norme euclidienne qui lui est associée est notée .
  • Si désigne sa transposée et désigne sa trace.
  • désigne la matrice unité de et Id l'endomorphisme identité de .
  • Endomorphisme adjoint Si et si est l'endomorphisme canoniquement associé à , on note l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice . On notera aussi l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice .
  • Si est un nombre réel, on définit
  • Liste étendue des valeurs propres Lorsqu'une matrice de est diagonalisable, on appelle liste étendue des valeurs propres de , une liste de nombres réels où chaque valeur propre de se trouve répétée fois. Par exemple, la matrice
admet pour liste étendue des valeurs propres.
  • (respectivement ) désigne l'ensemble des endomorphismes symétriques de (respectivement des matrices symétriques de ).
  • (respectivement ) désigne l'ensemble des endomorphismes symétriques de (respectivement des matrices symétriques de ) à valeurs propres positives ou nulles.
  • On note l'ensemble des matrices orthogonales de . Si , on rappelle que est une matrice orthogonale si est inversible et si .
  • Matrices définies par bloc Considérons et définies par
où
et
On utilisera sans démonstration les égalités suivantes

Partie I - Un premier exemple

Soit un réel différent de 1 et
  1. Quel est le rang de ? Calculer . Que peut-on dire de l'endomorphisme canoniquement associé à ? Est-ce un endomorphisme diagonalisable ? Quels sont les valeurs propres et les sous-espaces propres de ?
  2. Calculer . La matrice est-elle diagonalisable? Comparer et . Quels sont les valeurs propres et les sous-espaces propres de ?
  3. À quelle condition nécessaire et suffisante, est-elle la matrice d'un projecteur?

Partie II - Généralités

  1. Produit scalaire sur
    - Soit
deux matrices de . Donner l'expression de en fonction des coefficients de et de .
- Montrer que l'application est un produit scalaire sur .
Dans la suite du problème, on notera
la norme euclidienne associée.
- Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz puis vérifier que
Montrer également que
Dans la suite, et est toujours l'endomorphisme canoniquement associé à .
5) Caractérisation de la matrice de en base orthonormée
Soit une base orthonormée de , on note la matrice de passage de vers et la matrice de dans la base .
- Rappeler la relation liant et .
- Rappeler pourquoi est une matrice orthogonale.
- En déduire que est la matrice de dans la base .
6) Réduction de
- Vérifier que, pour tout .
- Montrer que et .
- Vérifier que est un endomorphisme symétrique de .
- Montrer que les valeurs propres de sont positives ou nulles.
On note et on suppose pour la fin de la question 6) que .
- Justifier qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est de la forme
où est une matrice diagonale d'ordre dont les éléments diagonaux sont strictement positifs et où et sont des matrices dont tous les coefficients sont nuls.
- Montrer que la matrice de dans la base est de la forme
où et . Vérifier que .
7) Étude des valeurs propres de
On note l'endomorphisme canoniquement associé à .
- Montrer que et .
- Soit une valeur propre strictement positive de et un vecteur propre associé. Vérifier que est une valeur propre de et que en est un vecteur propre associé. Montrer alors que
- Montrer que est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres, qu'il possède exactement les mêmes valeurs propres que et que, pour chacune de ces valeurs propres , on a
- En déduire enfin qu'il existe telle que .
8) Une inégalité
Dans cette question, on note
et l'application de dans définie par
On admet que est une partie fermée de et que est une partie ouverte de .
-Montrer que
est une partie fermée bornée de .
- En déduire que admet un maximum global noté sur .
- Calculer lorsque .
- En déduire que est le maximum de sur sous la contrainte .
- Déterminer alors la valeur du maximum et préciser en quel vecteur de il est atteint.
- Soit . On suppose que les valeurs propres de sont positives ou nulles et on note une liste étendue des valeurs propres de . Déduire de ce qui précède que
Dans quel cas a-t-on égalité dans cette inégalité ?
- Dans cette question, on note une liste étendue des valeurs propres de . On définit l'application sur par
Montrer alors que pour tout réel ,

Partie III - Étude de deux cas particuliers

Dans cette partie encore, et est toujours l'endomorphisme canoniquement associé à .
9) On suppose dans cette question que est un projecteur de rang .
- Montrer que la trace de toute matrice représentant l'endomorphisme est .
- On reprend les notations de la question 6) selon lesquelles
Vérifier que et que , et en déduire la matrice .
- Montrer alors que les valeurs propres non nulles de sont supérieures ou égales à 1 et que .
- Quels sont les projecteurs orthogonaux pour lesquels ?
10) On suppose dans cette question que est une symétrie, c'est-à-dire Id.
a. Justifier que est inversible et exprimer son inverse en fonction de et .
- Montrer que si est une valeur propre , alors est aussi une valeur propre et que
- Vérifier que pour tout réel strictement positif on a
puis établir l'équivalence logique
- On note une liste étendue des valeurs propres . Montrer que
- Quelles sont les matrices pour lesquelles ? Montrer que cette égalité correspond au cas où est une symétrie orthogonale, ce qui signifie que les sous-espaces et sont orthogonaux.

Partie IV - Décomposition polaire

Dans cette partie encore, , est toujours l'endomorphisme canoniquement associé à et on suppose de plus que est inversible.
11) Montrer qu'il existe une base orthonormée et réels strictement positifs , tels que
et on pose alors
Montrer que l'on définit ainsi un endomorphisme de tel que et .
12) Soit un endomorphisme de tel que et .
Montrer que, pour toute valeur propre de , on a , et montrer ensuite que
  1. En déduire qu'il existe un unique endomorphisme de tel que et et que, dans toute base orthonormée de vecteurs propres de , la matrice de est diagonale.
  2. En déduire qu'il existe une unique matrice notée appartenant à telle que .
  3. Vérifier que la matrice est orthogonale. Montrer alors qu'il existe un unique couple
tel que . C'est ce que l'on appelle la décomposition polaire de .

Partie V - Application à la distance d'une matrice inversible à l'ensemble

Dans cette partie, est une matrice inversible de . Soit . On note la distance de à , c'est-à-dire
  1. Justifier que est bien définie.
  2. Soit . Montrer que
Montrer que les applications et sont des bijections de sur lui-même. En déduire que
  1. On note la décomposition polaire de . On considère une matrice diagonale à éléments diagonaux strictement positifs et une matrice telles que
Vérifier que .
19) Soit . On note
et l'endomorphisme canoniquement associé à .
- Justifier que est diagonalisable. On note l'endomorphisme canoniquement associé à .
- Soit . Vérifier que et que . En déduire que
- Montrer alors que les valeurs propres de sont positives ou nulles.
- On note . Montrer aussi que, pour tout .
- Montrer que, pour tout , on a si, et seulement si, .
20) On conserve les notations des questions 18) et 19).
-Montrer que
- En déduire que
- Montrer alors que
et montrer aussi que est l'unique élément de tel que .

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