La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Dans tout le problème,

désignent des entiers strictement positifs. On note

, l'ensemble des matrices rectangulaires à

lignes et

colonnes à coefficients réels. Pour

, on pose

. Pour tout entier

, on identifie

.
La transposée d'une matrice

appartenant à

est notée

. On pourra également la noter

.
On étudie dans ce problème, quelques propriétés du modèle linéaire, qui constitue l'instrument de base de l'économétrie.

Partie I. Trace et matrices aléatoires

Pour toute matrice

appartenant à

, on appelle trace de

, notée

, la somme de ses coefficients diagonaux ; ainsi, si

.
On rappelle les trois résultats suivants (que les candidats n'ont pas à démontrer) :

l'application tr qui, à toute matrice de , associe sa trace, est une application linéaire de dans ;
si est une matrice de et une matrice de , alors ;
si et sont deux matrices semblables de , alors .

Soit une matrice de possédant valeurs propres ( ) notées . Pour tout entier de , on désigne par la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre .
a) On suppose que la matrice est diagonalisable sur . Montrer que .
b) On suppose que la matrice de est symétrique. Montrer les égalités suivantes :

Pour tout entier de et pour tout entier de , on considère des variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé ( ). On définit la matrice aléatoire , à lignes et colonnes, en associant à tout de , la matrice :

On suppose que les

variables aléatoires

admettent une espérance

, et on définit l'espérance de la matrice

, notée

, comme la matrice de

dont les éléments sont les espérances

, soit

.
Si

sont deux matrices aléatoires à

lignes et

colonnes admettant chacune une espérance, et si

est réel, on remarquera que

.
Dans le cas où

, on appelle trace de

, notée

, la variable aléatoire définie par

et si

, la matrice aléatoire

coïncide avec la variable aléatoire

et on a

.
Dans le cas où

est quelconque, si

sont deux vecteurs aléatoires de

, et si

est un réel quelconque, on définit le vecteur aléatoire

par

a) Soit

une matrice aléatoire à

lignes et

colonnes admettant une espérance

. On considère une matrice

. Montrer que

. Soit

un élément de

, avec

. Montrer que

.
b) Soit

une matrice aléatoire à

lignes et

colonnes admettant une espérance

. Établir les deux égalités :

.
3. Dans cette question,

désigne un vecteur aléatoire de

, noté

, admettant une espérance

et une matrice de variance-covariance notée

.
On rappelle que

.
On admet que la définition et les propriétés de la matrice de variance-covariance

d'un vecteur aléatoire discret restent valables pour un vecteur aléatoire dont les composantes sont des variables aléatoires quelconques (discrètes ou à densité).
Ainsi, en supposant que pour tout

et pour tout

, la variable aléatoire

possède un moment d'ordre 1 au moins, on définit la covariance de

, et si

sont indépendantes, alors

.
a) Montrer que, pour tout vecteur aléatoire

.
b) Soit

une matrice de

. Justifier l'égalité

.
c) Soit

une matrice de

. On pose

. Établir les égalités :

Partie II. Le modèle linéaire

Dans les parties II.A et II.B,

sont deux entiers donnés qui vérifient

. L'espace vectoriel

est muni de sa structure euclidienne canonique. Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé (

) et admettent des moments d'ordre au moins 2 .
On considère un échantillon de

individus extrait d'une population donnée. Ces individus sont décrits à l'aide de

variables statistiques réelles (caractères)

.
Pour tout entier

, chaque caractère

fait l'objet de

observations notées

. On définit ainsi une application linéaire

dans

, dont la matrice dans les bases canoniques de

est la matrice

. On suppose que le rang de

est égal à

.
Soit

un vecteur aléatoire de

, dont les composantes

sont des variables aléatoires réelles définies sur (

), mutuellement indépendantes et de même loi. On suppose que

, où

désigne le vecteur nul de

la matrice identité de

un réel strictement positif inconnu.
Soit

un vecteur non nul de

dont les composantes

sont inconnues (

est un paramètre vectoriel)

On considère un vecteur aléatoire non nul,

tel que, pour tout

, la variable aléatoire

définie sur

s'écrit

.
Sous forme matricielle, le modèle linéaire s'écrit

. On s'intéresse dans cette partie II, à l'étude de quelques propriétés de ce modèle, liées à l'estimation des paramètres inconnus

.
Pour cela, on désigne par

et on note

, le vecteur non nul de

qui représente la réalisation sur l'échantillon considéré du vecteur aléatoire

; ainsi, pour tout

est la réalisation de la variable aléatoire

.
Soit

le vecteur de

, dit vecteur d'écart, défini par

A. Quelques résultats algébriques

On considère l'endomorphisme de dont la matrice , dans la base canonique de , est définie par .
a) Montrer que est une matrice symétrique réelle de .
b) En étudiant le noyau de , montrer que le rang de est égal à . En déduire que la matrice est inversible. On notera son inverse.
Dans cette question, on veut trouver, en fonction de et , les vecteurs de qui minimisent . Montrer que ce problème admet une unique solution définie par .
Soit le projecteur orthogonal de sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de la matrice . On note la matrice de dans la base canonique de .
a) Montrer que . En déduire que . Vérifier que .
b) Établir que le rang de et la trace de sont égaux. Quelle est leur valeur commune?
c) Montrer que les colonnes de constituent une base de vecteurs propres de la matrice , associés à la valeur propre 1.
d) Montrer qu'il existe une matrice de , orthogonale, telle que , où est la matrice diagonale définie par :

Préciser les

premières colonnes de

.
4. Soit

le vecteur de

défini par

.
a) On pose

. Montrer que

. Vérifier que

. Calculer la trace de

.
b) Exprimer

en fonction de

.
5. Par définition, on dit qu'une matrice

symétrique réelle d'ordre

est positive, si pour tout vecteur

, on a

.
a) Montrer que

, symétrique réelle, est positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives ou nulles.
b) Soit

une matrice appartenant à

. Établir que

est symétrique réelle positive.

B. Estimation des paramètres et

Soit le vecteur aléatoire de défini par: .
a) Établir que , et que . En déduire que ( est un estimateur sans biais de , tandis que est une estimation sans biais de ).
b) Montrer que .
On veut montrer dans cette question, que dans l'ensemble des estimateurs sans biais du paramètre , de la forme , où est une matrice quelconque, non nulle de , l'estimateur est optimal dans le sens suivant : tout autre estimateur sans biais du paramètre , de la forme est tel que la matrice est positive.
Soit une matrice non nulle de . On considère le vecteur aléatoire
a) Quelle condition doit satisfaire la matrice pour que, pour tout vecteur de soit un estimateur sans biais de ?
b) En supposant cette condition vérifiée, on pose . Calculer , et montrer que la matrice est positive.
On désigne par le vecteur aléatoire de défini par .
a) Montrer que .
b) Déterminer et . Les variables aléatoires sont-elles indépendantes?
c) Montrer que .
d) Calculer . En déduire que la variable aléatoire définie par est un estimateur sans biais de .

C. Étude d'une suite d'estimateurs

Dans cette partie,

est fixé dans

. On veut montrer que la suite d'estimateurs

, est convergente.
On suppose que, pour tout

, la variable aléatoire

possède des moments d'ordre 3 et 4 avec

. On pose

Établir que .
Montrer que . En déduire que .
Calculer la variance de la variable aléatoire . Conclure.

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OPTION : SCIENTIFIQUE

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