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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2003

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesInformatique
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2003ECS MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2003.

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dde5c89b-87b6-4338-a838-40e9f5f8a94d

ESSEC
M B A

CONCOURS D'ADMISSION

Option scientifique

MATHEMATIQUES II

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le problème étudie les rudiments de la théorie de la communication introduite en 1948 par Claude Shannon.

Dans tout le problème, ( ) désigne un espace probabilisé.

Partie I Introduction informatique

On rappelle que les entiers compris entre 0 et 31 s'écrivent avec au plus 5 chiffres en binaire, on a donc : Pour tout , il existe une liste ( ) d'éléments de telle que .
Cette écriture de est unique et on appellera bin la liste .
I.1) Déterminer l'écriture binaire de 6 puis bin(6) et déterminer bin(21) (on justifiera les résultats).
I.2) On souhaite écrire une procédure PaSCAL pour obtenir bin( ). Compléter la procédure suivante de sorte qu'à l'issue de l'exécution de on ait un tableau L tel que contienne contienne etc :
Type ecriture = array[1..5] of integer
Procedure bin(n : integer ; var L : ecriture)
var i, : integer (*à compléter éventuellement*)
begin
    for \(\mathrm{i}:=1\) to 5 do \(\mathrm{L}[\mathrm{i}]:=0\);
    (* à compléter*)
\(\mathrm{L}=1\) end ;
I.3) On souhaite numéroter les cartes d'un jeu standard de 32 cartes. On propose ci-après la procédure carte (qui utilise la procédure bin précédente).
Remarque : string désigne les chaînes de caractères (entre deux apostrophes, on met une suite de caractères quelconques).
Procedure carte(n :integer)
var
    fam : array[1..4] of string ;
    val : array[1..8] of string;
    famille,valeur : string;
    L : array[1..5] of integer ;
begin
    fam[1] :='trèfle'; fam[2]:= 'carreau'; fam[3]:='coeur', fam[4]:='pique';
    val[1]:='sept'; val[2]:='huit'; val[3]:='neuf'; val[4]:='dix';
    val[5]:='valet'; val[6]:='dame'; val[7]:='roi',val[8]:='as';
    L:=bin(n);
    famille:=fam[2*L[1]+L[2]+1];
    valeur: = val[4*L[3]+2*L[4]+L[5]+1];
    writeln (valeur,' de ',famille,' est la carte numéro ',n);
end ;
Quelle est la carte numéro 6 ? Qui est le numéro 1 ? Quel est le numéro de la dame de cœur ?

Partie II Position du problème et recherche des fonctions solutions

On cherche à définir une mesure de l'incertitude d'un événement, c'est-à-dire, définir, pour un événement de probabilité non nulle, un nombre réel , appelé l'incertitude de ou entropie de , en respectant le modèle suivant :
(i) Pour l'événement certain , l'incertitude est nulle : .
(ii) Si et l'événement contraire sont équiprobables, alors .
(iii) Si et sont indépendants pour la probabilité et si alors .
(iv) Si alors .
Le dernier axiome (iv) signifie que ne dépend que du réel .
II.1) Soit une fonction définie sur à valeurs dans . Pour un événement de probabilité non nulle, on pose .
Montrer que si vérifie les conditions :
alors vérifie (i),(ii),(iii) et (iv).
II.2) Existe-t-il des réels et pour lesquels vérifie (1) et (2)?
II.3) Soit une fonction continue sur ]0, 1] et vérifiant (1) et (2).
a) Montrer, à l'aide d'un changement de variable affine, que pour tout ] :
b) En déduire que est dérivable sur et, en dérivant , démontrer que :
c) En déduire qu'il existe alors ( ) tel que (on pourra considérer l'expression de en fonction de ).
II.4) Que peut-on conclure de cette étude?
Partie III Incertitude des événements
Dans toute la suite du problème, on notera la fonction définie sur par .
Pour un événement de probabilité non nulle, on pose .
III.1) On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Soit l'événement « la carte tirée est la dame de cœur ». Que valent et ?
III.2) Soit et l'ensemble des entiers s'écrivant avec au plus chiffres en binaire. On choisit un élément de au hasard et est l'événement « le nombre obtenu est 0 » .
Quel est le cardinal de ? Que valent et ?
III.3) Soit et deux événements tels que et . Comparer et .
III.4) Que vaut et quelle interprétation peut-on donner de ce résultat?
Partie IV Incertitude d'une variable aléatoire discrète
Dans toute la suite du problème, on considère la fonction définie sur [ 0,1 ] par
Pour une variable aléatoire réelle discrète définie sur ( ), on pose sous réserve d'existence :
est l'incertitude moyenne - ou entropie - de .
Si est à valeurs dans un ensemble fini existe et, en notant , on a:
IV.1) Soit . Si suit la loi uniforme sur , que vaut ?
IV.2) Si on suppose et , que vaut ?
Classer par ordre croissant et .
IV.3) Vérifier que est continue et positive sur [ 0,1 ].
Est-elle dérivable en 0 ? Étudier et dessiner sa courbe représentative .
IV.4) Soit une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini.
Montrer que avec égalité si, et seulement si, est quasi-certaine.
IV.5) Pour , on pose .
a) Pour , on a clairement . Que signifie ce résultat quant à la courbe de dans un repère orthonormé?
b) Étudier et donner son graphe.
c) Soit une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre .
Montrer que avec égalité si, et seulement si, .
IV.6) Soit et deux variables de Bernoulli indépendantes de paramètres respectifs et .
Soit la variable de Bernoulli telle que est impair » ).
Donner la loi et l'espérance de . En notant , contrôler .
IV.7) Soit et une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres et .
Soit la variable de Bernoulli telle que « est impair » ).
Montrer que (on pourra raisonner par récurrence).
Montrer que . Dans quel(s) cas a-t-on égalité?

Partie V Maximalité de l'entropie

V.1) Soit .
a) Soit l'ensemble des vérifiant . On admettra que est un ouvert.
Pour , on pose .
Montrer que admet au plus un extremum sur .
b) On rappelle que si une fonction est convexe sur un intervalle , alors on a :
Vérifier que est convexe sur ] et en déduire :
si et alors .
c) Soit une variable aléatoire telle que . Montrer que:
avec égalité si, et seulement si, suit la loi uniforme sur
V.2) Soit et une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre .
On pose et pour .
a) Rappeler la valeur de , montrer que existe et la calculer.
b) Soit une variable aléatoire telle que et existe.
Pour , on pose et on supposera .
En justifiant rapidement que pour tout
vérifier que pour tout , on a
et établir : avec égalité si, et seulement si, suit la même loi que .

Partie VI Incertitude d'une variable aléatoire continue

Pour une variable aléatoire admettant une densité continue sur éventuellement privé d'un nombre fini de points, on dit que admet une incertitude quand l'intégrale converge. Dans ce cas, la valeur de l'intégrale est appelée incertitude de .
VI.1) Cas des lois normales
a) Soit une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.
Montrer que existe et calculer .
b) Soit une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d'écart type .
Montrer que existe et calculer .
VI.2) Soit et une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre . On désignera par la densité de .
a) Montrer que existe et calculer en fonction de .
b) Soit une variable aléatoire à valeurs dans , admettant une densité . On suppose que existe et que admet une espérance égale à .
Montrer que :
En utilisant (3) montrer que .

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