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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2009

Epreuve de maths approfondies - ECS 2009

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Intégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités continuesRéductionAlgèbre linéaire
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Banque
BCE
Année
2009
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2009ECS MathématiquesMathématiques 2009

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Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2009.

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EML MATS

Concepteur : EMLYON Business School

Première épreuve (option scientifique) MATHÉMATIQUES

Lundi 27 avril 2009 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

PROBLÈME 1

Partie I - Calcul d'une intégrale
On note un couple de réels strictement positifs.
  1. Montrer que l'intégrale impropre converge.
  2. a. Établir, pour tout appartenant à tel que :
(À cet effet, on pourra utiliser des changements de variable.)
b. En déduire, pour tout appartenant à tel que :
  1. a. Montrer que l'application est continue sur .
    b. En déduire : .
    c. Établir, pour tout de .
    d. En déduire : .

Partie II - Étude d'un produit scalaire

On note l'ensemble des applications , bornées, de classe , telles que .
  1. Démontrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel réel des applications de dans .
  2. On considère les applications définies, pour tout , par :
Pour chacune de ces applications, indiquer, en le justifiant, si elle est ou non un élément de .
3. a. Montrer, pour tout .
b. Montrer que, pour tout , l'intégrale impropre converge.
On note (.|.): .
4. Établir que (.|.) est un produit scalaire sur .
5. Démontrer, pour tout .
(À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un segment.)
6. On note, pour tout , définie, pour tout , par :
a. Vérifier : .
b. Calculer, pour tout , le produit scalaire .
(À cet effet, on pourra utiliser les résultats de II. 5 et I.3.d.)
c. Établir, pour tout .

Partie III - Étude de densités de variables aléatoires

On note un réel strictement positif.
On considère l'application définie, pour tout réel , par :
  1. Montrer que est une densité d'une variable aléatoire réelle.
Soit une variable aléatoire réelle, à valeurs positives ou nulles, admettant comme densité.
2. Montrer que admet une espérance et calculer en fonction de .
3. On note la variable aléatoire réelle définie par : .
a. Montrer que est une variable aléatoire réelle à densité et calculer une densité de .
b. Montrer que la variable aléatoire réelle admet une espérance et une variance, et déterminer et en fonction de .

PROBLÈME 2

Notations et définitions

Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
  • La matrice identité de est notée et la matrice nulle de est notée .
  • Soit . On dit que est nilpotente s'il existe un entier naturel non nul tel que .
  • Soient et une valeur propre réelle de . On note le sous-espace propre de associé à .
  • On dit qu'une matrice de est symétrique positive lorsqu'elle est symétrique et vérifie :
  • Soient . On dit que est une racine carrée de lorsqu'elle vérifie .
Le but de ce problème est d'étudier la notion de racine carrée d'une matrice dans quelques cas particuliers.

Partie I - Deux exemples

  1. Soient et .
Calculer et en déduire que la matrice admet une infinité de racines carrées.
2. Montrer que la matrice n'admet pas de racine carrée.

Partie II - Racines carrées d'une matrice de la forme avec nilpotente

  1. Donner le développement limité à l'ordre 3 , au voisinage de 0 , de .
On note ce développement limité.
2. Montrer qu'il existe un polynôme de tel que :
  1. Soit vérifiant . Déduire de la question précédente une racine carrée de .

Partie III - Racines carrées d'une matrice de admettant valeurs propres strictement positives et deux à deux distinctes

  1. Soient et deux endomorphismes de vérifiant . On suppose de plus que admet valeurs propres réelles deux à deux distinctes.
    a. Montrer que chaque sous-espace propre de est stable par .
    b. En déduire que tout vecteur propre de est vecteur propre de .
    c. Justifier que est diagonalisable.
Montrer que, pour toute base de constituée de vecteurs propres de , la matrice associée à relativement à la base est diagonale. En déduire que est diagonalisable.
2. Soit une matrice de admettant valeurs propres réelles strictement positives et deux à deux distinctes.
a. Justifier l'existence d'une matrice inversible de telle que la matrice soit diagonale.
b. Donner un exemple de racine carrée de . (On l'exprimera à l'aide de et des éléments diagonaux de .)
c. Soit une racine carrée de . Vérifier que .
En déduire que la matrice est diagonale.
d. Établir que admet exactement racines carrées.

Partie IV - Racine carrée symétrique positive d'une matrice symétrique positive de

Soit une matrice de symétrique positive.
  1. Montrer que toutes les valeurs propres de sont positives ou nulles.
  2. Justifier l'existence d'une matrice orthogonale de telle que la matrice soit diagonale.
  3. Déterminer une racine carrée de qui soit symétrique positive. (On l'exprimera à l'aide de et des éléments diagonaux de .)
  4. On veut montrer que admet une unique racine carrée symétrique positive.
Soit une matrice symétrique positive telle .
a. Soit une valeur propre de . Montrer que est valeur propre de et que les sous-espaces propres associés vérifient : .
On note le nombre de valeurs propres deux à deux distinctes de et les valeurs propres deux à deux distinctes de .
b. Justifier : .
c. En déduire : .
d. Montrer que sont les seules valeurs propres de et que
.
e. Montrer que la matrice est diagonale.
f. En déduire que admet une unique racine carrée symétrique positive.

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