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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2004

Epreuve de maths approfondies - ECS 2004

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Intégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesAlgèbre linéaireSuites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
BCE
Année
2004
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2004ECS MathématiquesMathématiques 2004

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Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2004.

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Programme ESC d'E.M.LYON

CONCOURS D'ENTRÉE 2004

MATHEMATIQUES è épreuve (option scientifique)

Lundi 3 mai 2004 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

PREMIER PROBLÈME

É
On note et les applications définies, pour tout réel , par :
  1. a. Montrer, pour tout réel .
En déduire que admet une limite finie en . On note cette limite.
b. De manière analogue, montrer que admet une limite finie en . On note cette limite.
c. En déduire que, pour tout réel , les intégrales et convergent, et que : et .
2. a. Montrer, pour tout réel et tout réel :
b. En déduire que, pour tout réel , l'intégrale converge et que
On note l'application définie, pour tout réel , par :
  1. Montrer que l'application est de classe sur et que, pour tout réel :
  1. Établir que et tendent vers 0 lorsque tend vers .
    5.a. Montrer: .
    b. En déduire que tend vers 0 lorsque tend vers 0 par valeurs strictement positives.
    c. Montrer que l'intégrale converge, et établir que tend vers lorsque tend vers 0 par valeurs strictement positives.
É
  1. Montrer que, pour tout réel et tout entier naturel , l'application est bornée sur , et en déduire que l'intégrale converge.
On note, pour tout entier naturel l'application définie, pour tout réel .
2.a. Montrer, en utilisant par exemple l'inégalité de Taylor-Lagrange:
b. En déduire, pour tout réel , pour tout entier naturel et pour tout réel tel que
c. Montrer que, pour tout entier naturel est dérivable sur et que :
d. En déduire que est de classe sur [ et que, pour tout réel :
  1. Montrer, pour tout réel :
et en déduire les limites de et lorsque tend vers .
4.a. Montrer:
b. Justifier, pour tout réel :
et en déduire : .
c. En déduire la limite de lorsque tend vers 0 par valeurs strictement positives.
é
On considère l'application définie, pour tout réel , par :
où a été définie dans la Partie et a été définie dans la Partie .
On note l'application définie, pour tout réel , par :
  1. Montrer que est constante sur .
  2. Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
  3. En déduire : .
  4. Quelle est la valeur de ?

DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout le problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
est l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre et l'ensemble des matrices colonnes réelles à lignes.
Une matrice de ou de est dite positive si et seulement si tous les cœfficients de sont positifs ou nuls. On notera alors .
Une matrice de ou de est dite strictement positive si et seulement si tous les cœfficients de sont strictement positifs. On notera alors .
Si et sont deux matrices de ou deux matrices de , la notation (respectivement ) signifie que (respectivement ).
Une matrice de est dite productive si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes : est positive et il existe une matrice positive de telle que .

- Étude d'exemples

  1. En considérant , montrer que la matrice est productive.
  2. Montrer que la matrice n'est pas productive.

II - Caractérisation des matrices positives

Soit une matrice de .
  1. Montrer que, si est positive, alors, pour toute matrice positive de , le produit est positif.
  2. Réciproquement, montrer que, si, pour toute matrice positive de , le produit est positif, alors la matrice est positive.

III - Caractérisation des matrices productives

  1. Soit une matrice productive de dont le cœfficient de la -ème ligne et de la -ème colonne est noté , et une matrice positive de telles que . On note les cœfficients de la matrice colonne .
    a. Montrer que .
    b. Soit appartenant à telle que . On note les cœfficients de la matrice colonne . On désigne par le plus petit des réels lorsque l'entier décrit l'ensemble et un indice tel que .
    Établir que . En déduire que et que est positive.
    c. Soit appartenant à telle que . En remarquant que , montrer que est nulle. En déduire que est inversible, où est la matrice identité de .
    d. Montrer que, pour toute matrice positive de , la matrice est positive (on pourra utiliser III.1.b).
    En déduire que est positive.
  2. Dans cette question, on considère une matrice positive de telle que soit inversible et telle que soit positive. On note , où est la matrice de dont tous les cœfficients sont égaux à 1 .
    Montrer que . Conclure.
  3. Donner une caractérisation des matrices productives.
  4. Application : Soit une matrice positive de telle que .
Vérifier que et en déduire que est productive.

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